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Área de figuras semelhantes

A razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança entre essas figuras.

Área de figuras semelhantes
Os polígonos regulares, como são hexágonos, possuem a mesma razão de semelhança.

Figuras semelhantes são aquelas que possuem ângulos correspondentes semelhantes e lados correspondentes proporcionais. Essa proporção entre os lados e a semelhança entre as figuras garantem também a existência de uma propriedade envolvendo suas áreas. Para compreender melhor essa propriedade, é necessário relembrar o conceito de razão de semelhança.

 

Razão de semelhança

A razão de semelhança é o resultado da divisão entre as medidas de um lado da primeira figura e o lado correspondente a ele da segunda figura. Isso só vale para figuras que são semelhantes. Os hexágonos regulares, representados a seguir, são exemplos de figuras semelhantes:

Hexágonos regulares semelhantes


Nessas figuras, a razão entre o lado AB e o lado GH é igual a 0,5. A razão entre os lados FE e LK também é 0,5, pois esses lados são correspondentes.

 

Áreas de figuras semelhantes

Suponha que as áreas de duas figuras sejam representadas por A1 e A2 e que essas figuras sejam semelhantes. Suponha também que L é a razão de semelhança entre as duas figuras, ou seja, L é o resultado da divisão entre dois lados correspondentes dessas duas figuras.

Nessa hipótese, a razão entre a área das figuras será igual ao quadrado da razão de semelhança, o que pode ser representado matematicamente da seguinte forma:

L2 = A1
      A2

Toda vez que dividimos as medidas de dois lados correspondentes de dois polígonos semelhantes o resultado é a razão de semelhança L. Se dividirmos as áreas desses mesmos polígonos, o resultado será L2.


1º Exemplo – Dados os polígonos semelhantes a seguir, determine a área do segundo polígono, sabendo que a razão de semelhança entre eles é dois e que a área do polígono menor mede 4 cm2.

Quadrados semelhantes

Solução:

Quando a razão de semelhança é maior que um, significa que a maior medida foi dividida pela menor medida. Assim, podemos substituir os valores dados da área de uma das figuras e da razão de semelhança na fórmula abaixo:

L2 = A1
       A2

22 = A1
     4

4·22 = A1
4·4 = A1
16 = A1
A1 = 16 cm2

 

Lembre-se que 4 cm2 é o denominador porque a razão de proporcionalidade é maior que um. Caso contrário, seria numerador.

 

2º Exemplo – Qual a razão de semelhança entre dois polígonos cujas áreas são, respectivamente, iguais a 16 cm2 e 100 cm2?

Solução:

Geralmente, as razões de semelhança são números menores que um, portanto, a fração que origina essa razão deve ser estruturada com o menor número no numerador. Isso não é uma regra, é apenas o mais usual nesse conteúdo.

Uma segunda observação importante é a seguinte: não se esqueça de que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, portanto:

 

L2 = A1
      A2

L2 = 16
       100

L = √16
      √100

L = 4
     10

L = 0,4

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