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Área da esfera

A área da esfera é a medida relacionada com a sua superfície e com as superfícies dos sólidos formados por pequenas revoluções de semicircunferências.

Área da esfera
Esquema que ilustra a superfície de uma esfera

A esfera é um sólido geométrico proveniente da revolução (giro sobre um eixo) de um semicírculo sobre a reta que contém seu diâmetro (sua parte reta). Assim como os outros sólidos geométricos, é possível encontrar a área da superfície esférica, que é uma medida relacionada com a “casca” da esfera.

Tendo em mãos a fórmula usada para calcular a área da superfície esférica, podemos facilmente calcular a área do fuso esférico.

Esfera: sólido geométrico formado pela rotação de um semicírculo
Esfera: sólido geométrico formado pela rotação de um semicírculo

Área da esfera

A área da esfera pode ser calculada por meio da expressão a seguir:

A = 4πr2

A é a área, e r é o raio da esfera.

Exemplo

Um artista plástico gostaria de colocar uma bola de isopor sobre uma de suas obras de arte, entretanto, será necessário pintá-la de vermelho. Sabendo que o metro quadrado de tinta vermelha custa R$ 150,00 e que o raio dessa bola mede 1 metro, calcule o valor que será gasto por esse artista.

Solução:

Basta calcular a área da esfera de isopor e multiplicar o resultado pelo preço por metro quadrado da tinta para encontrar o valor gasto na obra.

A = 4πr2

A = 4·3,14·12

A = 12,56·1

A = 12,56 m2

Área do fuso esférico

Os fusos esféricos são parcelas das superfícies esféricas que contêm os polos. Sendo assim, por meio de regra de três, é possível encontrar a área do fuso esférico, bastando para isso compará-lo com a superfície esférica.

O fuso esférico é obtido a partir de uma parte da rotação de uma semicircunferência
O fuso esférico é obtido a partir de uma parte da rotação de uma semicircunferência

Considere:

A é a área da superfície esférica, α é o ângulo do fuso esférico e Af é sua área. Podemos calcular Af por meio de regra de três da seguinte maneira:

 A = 360
Af     α 

Como queremos descobrir o valor de Af, multiplicaremos cruzado para encontrar:

A·α = Af·360

Af = A·α
       360

Para encontrar uma fórmula que possa ser usada para calcular a área do fuso, basta substituir a área da esfera. Observe:

Af = A·α
       360

Af = 4πr2·α
       360

Af = πr2·α
        90

A área do fuso pode ser calculada tanto pela fórmula acima quanto por regra de três. Em radianos, essa área pode ser obtida pela regra de três:

2πrad = 4πr2
  α         Af

Que é da onde vem a expressão a seguir:

Af = 2r2α

Exemplo

Calcule a área de um fuso esférico de ângulo 30° e cujo raio mede 2 metros.

Af = πr2·α
      90

Af = 3,14·22·30
       90

Af = 3,14·4·30
       90

Af = 376,8
       90

Af = 4,19

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