Área da esfera

A esfera é um sólido geométrico proveniente da revolução (giro sobre um eixo) de um semicírculo sobre a reta que contém seu diâmetro (sua parte reta). Assim como os outros sólidos geométricos, é possível encontrar a área da superfície esférica, que é uma medida relacionada com a “casca” da esfera.

Tendo em mãos a fórmula usada para calcular a área da superfície esférica, podemos facilmente calcular a área do fuso esférico.

Esfera: sólido geométrico formado pela rotação de um semicírculo

Área da esfera

A área da esfera pode ser calculada por meio da expressão a seguir:

A = 4πr²

A é a área, e r é o raio da esfera.

Exemplo

Um artista plástico gostaria de colocar uma bola de isopor sobre uma de suas obras de arte, entretanto, será necessário pintá-la de vermelho. Sabendo que o metro quadrado de tinta vermelha custa R$ 150,00 e que o raio dessa bola mede 1 metro, calcule o valor que será gasto por esse artista.

Solução:

Basta calcular a área da esfera de isopor e multiplicar o resultado pelo preço por metro quadrado da tinta para encontrar o valor gasto na obra.

A = 4πr²

A = 4·3,14·1²

A = 12,56·1

A = 12,56 m²

Área do fuso esférico

Os fusos esféricos são parcelas das superfícies esféricas que contêm os polos. Sendo assim, por meio de regra de três, é possível encontrar a área do fuso esférico, bastando para isso compará-lo com a superfície esférica.

O fuso esférico é obtido a partir de uma parte da rotação de uma semicircunferência

Considere:

A é a área da superfície esférica, α é o ângulo do fuso esférico e A_f é sua área. Podemos calcular A_f por meio de regra de três da seguinte maneira:

 A = 360
A_f     α 

Como queremos descobrir o valor de A_f, multiplicaremos cruzado para encontrar:

A·α = A_f·360

A_f = A·α
       360

Para encontrar uma fórmula que possa ser usada para calcular a área do fuso, basta substituir a área da esfera. Observe:

A_f = A·α
       360

A_f = 4πr²·α
       360

A_f = πr²·α
        90

A área do fuso pode ser calculada tanto pela fórmula acima quanto por regra de três. Em radianos, essa área pode ser obtida pela regra de três:

2πrad = 4πr²
  α         A_f

Que é da onde vem a expressão a seguir:

A_f = 2r²α

Exemplo

Calcule a área de um fuso esférico de ângulo 30° e cujo raio mede 2 metros.

A_f = πr²·α
      90

A_f = 3,14·2²·30
       90

A_f = 3,14·4·30
       90

A_f = 376,8
       90

A_f = 4,19