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Círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico é uma circunferência usada para representar ângulos e relacioná-los com números reais.

Círculo trigonométrico
Ferramentas usadas para medir e construir ângulos no círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 usada para representar números reais relacionados a ângulos. Sendo assim, cada ponto dessa circunferência está relacionado a um número real, que, por sua vez, representa um ângulo. Assim, é possível representar também valores de seno e cosseno.

O centro desse círculo está sobre o ponto O = (0,0) do plano cartesiano e, como o raio dele é 1, podemos calcular seu comprimento da seguinte maneira:

C = 2·π·r

C = 2·π·1

C = 2·π

A ideia de volta

A ideia de volta está presente nos círculos trigonométricos. Como o comprimento da circunferência é 2·π, podemos dizer que uma volta completa nesses círculos tem essa medida. Repare apenas que o ângulo formado por essa volta mede 360°. Dessa maneira, o número 2·π relaciona-se com o ângulo 360°.

Assumindo que essas voltas sejam feitas no sentido anti-horário, vamos calcular o valor numérico e o ângulo correspondente à meia-volta:

C = 2·π = π
2      2       

Portanto, meia-volta é igual a π. O ângulo gerado por meia-volta é 180°, pois é metade de 360°.

Qualquer número real pode ser representado em um círculo trigonométrico. O comum, entretanto, é usar os números que vão de 0 a 2·π e os ângulos referentes a esse intervalo. A figura a seguir mostra a localização dos pontos correspondentes aos ângulos 0°, 90°, 180°, 270° e 360° e os números reais, em função de π, relacionados.

Quadrantes

Os ângulos presentes na figura acima marcam posições muito importantes no círculo trigonométrico: os chamados quadrantes. Eles são definidos no sentido anti-horário. Na figura a seguir, observe os quatro quadrantes e sua localização no círculo trigonométrico.

Em cada um desses quadrantes pode ser encontrado um intervalo de números reais em função de π em que cada valor está relacionado a um ângulo. Veja:

  • Quadrante I: contém os números reais que vão de 0 até π/2 e os ângulos entre 0° e 90°.

  • Quadrante II: contém os números reais que vão de π/2 até π e os ângulos entre 90° e 180°.

  • Quadrante III: contém os números reais que vão de π até 3π/2 e os ângulos entre 180° e 270°.

  • Quadrante VI: contém os números reais que vão de 3π/2 até 2π e os ângulos entre 270° e 360°.

Razão seno e razão cosseno

No círculo trigonométrico, é possível encontrar os valores de seno e de cosseno de um ângulo θ qualquer. Para tanto, é necessário construir esse ângulo no círculo trigonométrico, como foi feito na imagem a seguir.

Note que, tomando os segmentos BC e AB, paralelos a AD e DC, respectivamente, temos um retângulo. Podemos notar que a medida do lado CD = b1 é igual ao senθ, pois:

Senθ = CD = b1 = b1
     AC    1  

A medida do segmento AC é 1 porque AC é o raio da circunferência. Essa medida é a altura do retângulo.

A medida do segmento AD = a é igual ao cosθ, pois:

cosθ = AD = a = a
     AC    1

Sendo assim, no círculo trigonométrico, as medidas de seno e cosseno de θ são iguais às medidas do cateto oposto e adjacente a esse ângulo.

Podemos calcular agora os valores mais importantes para seno e cosseno. Observe no círculo trigonométrico que:

  • Quando θ = 0°, senθ = 0 e cosθ = 1.

  • Quando θ = 90°, senθ = 1 e cosθ = 0.

  • Quando θ = 180°, senθ = 0 e cosθ = – 1.

  • Quando θ = 270°, senθ = – 1 e cosθ = 0.

  • Quando θ = 360°, senθ e cosθ possuem os mesmos valores do caso em que θ é igual a 0°.

Nesse sentido, podemos saber os quadrantes nos quais o seno e o cosseno são positivos ou negativos. Observe a figura a seguir:

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