Elipse

A elipse é uma figura bastante comum na geometria plana. Presente no dia a dia, a elipse descreve, por exemplo, o trajeto que o planeta Terra faz no movimento de translação, conhecido como órbita. A elipse é conhecida como cônica, porque ela pode ser obtida por meio da secção de um cone.

Analisando-a de forma analítica, ela possui elementos importantes, como os focos, o eixo maior e o eixo menor, além da distância focal, o que torna possível descrevê-la por meio de uma equação. Na matemática, ela é definida como o conjunto de pontos cuja soma da distância entre esses pontos com a distância entre cada um de seus focos é sempre constante.

Leia também: O que é geometria analítica? 

O que é elipse?

Dados dois pontos, F₁ e F₂, com distância entre eles igual a 2c, definimos como elipse o conjunto de pontos P_n, cuja soma da distância entre os pontos P_n e F₁ com a distância entre os pontos P_n e F₂ é sempre constante e igual a 2a.

Por definição, para que essa figura seja uma elipse, as distâncias são iguais à constante 2a, que nada mais é que a distância de A₁ até A₂, então temos que:

dP₁F₁ + dP₁F₂ = dP₂F₁ + P₂F₂ = dP₃F₁ + dP₃F₂  = dAB = 2a

É importante compreender também que a elipse é conhecida como uma cônica, por ser possível obter essa figura geométrica ao realizar-se a secção de um cone.

Elementos da elipse

Dada uma elipse qualquer, ela possui sempre dois eixos, o eixo maior, que contém os focos, e o eixo menor. Além disso, ela possui outros elementos importantes:

O → centro da elipse

F₁ e F₂ → focos da elipse

A₁ e A₂ → extremidades do eixo horizontal da elipse

B₁ e B₂ → extremidades do eixo vertical da elipse

2b → distância entre B₁ e B₂

2c → distância focal

2a → distância entre A₁ e A₂

Note também que é possível aplicar o teorema de Pitágoras, que relaciona a, b e c.

a² = b² + c²

Outro elemento importante é que, em uma elipse, a distância focal sempre será menor que a distância do eixo maior, ou seja, 2c < 2a.

Veja também: O que são parábolas?

Excentricidade da elipse

Outra relação importante é a excentricidade, quanto maior for a excentricidade, mais achatada será a elipse, a excentricidade é a razão entre comprimento c e comprimento a:

Como a > c, então. ao dividirmos c por a, vamos encontrar sempre um número maior que 0 e menor do que 1, ou seja, 0 < e < 1. Quanto mais próximo de 1, mais achatada será a elipse, e quanto mais próximo de 0, mais redonda será essa elipse, aproximando-se cada vez mais de uma circunferência.

Equação da elipse

Na geometria analítica, é bastante comum buscar descrever figuras geométricas por meio da álgebra. Sendo assim com os estudos dessa cônica, foi possível desenvolver-se a equação da elipse com centro na origem:

Na equação, quando a > b, então os focos da elipse estarão sobre o eixo x e teremos que:

a² = b² + c², em que 2c é a distância focal, como vimos anteriormente.

Quando b > a, os focos da elipse estão sobre o eixo y, e teremos que b² = a² + c².

Exemplo 1:

Encontre a equação da elipse no plano:

Note que os focos estão sobre o eixo x, logo, a > b.

Analisando a elipse, note que a = 3 e b = 2, sendo assim, temos que:

Exemplo 2:

Represente no gráfico a elipse que possui equação:

Para realizar a representação gráfica, precisamos encontrar as extremidades da elipse:

Sabemos que:

a² = 16

a = √16

a = 4

Por outro lado:

b² = 25

b = √25

b = 5

Note que b > a, quando isso ocorre, os focos da elipse estarão sobre o eixo vertical.

Agora vamos encontrar o valor de c. Sabemos que, nesse caso, b é o eixo maior, então, pela relação pitagórica, temos que:

b² = a² + c²

5² = 4² + c²

25 = 16 + c²

25 – 16 = c²

c² = 9

c = √9

c = 3

Área da elipse

Assim como as demais figuras geométricas, é de grande importância calcular-se a área delimitada pela figura, nesse caso, uma elipse. Para isso, utilizamos a fórmula:

A_e = abπ

A_e →  área da elipse

a → metade do comprimento do eixo horizontal

b → metade do comprimento do eixo vertical

Acesse também: Equação geral da circunferência: qual a fórmula?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – A área da elipse cujo eixo maior mede 10 cm e eixo menor mede 6 cm é de:

(use π = 3,1)

A) 18,1 cm²

B) 30,5 cm²

C) 36 cm²

D) 40,5 cm²

E) 46,5 cm²

Resolução

Alternativa E.

Como vamos calcular o produto entre a metade da medida dos comprimentos do eixo maior e a metade do eixo menor, e a multiplicação é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores não altera o produto, podemos supor que o eixo maior seja o horizontal ou o vertical, pois isso não alterará o resultado.

Suponha que o eixo maior seja o horizontal, então temos que:

2a = 10

a = 10 : 2

a = 5 cm

Além disso:

2b = 6

b = 6 : 2

b = 3 cm

Então a área é igual a:

A = abπ

A = 5 · 3 · 3,1

A = 15 · 3,1

A = 46,5 cm²

Questão 2 – (UFRN) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo.

O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos.

Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de

A) 3 m.

B) 4 m.

C) 5 m.

D) 6 m.

Resolução

Alternativa C.

Primeiro faremos o desenho para entendermos melhor a situação:

Note que do retângulo maior para o retângulo menor, há a diferença de duas unidades de comprimento, sendo assim, tem-se 1 metro para cada um dos lados, ou seja, o seguimento que liga os pontos D e A tem1 m.

Queremos encontrar a distância do foco até a parede, nesse caso, faremos a distância de F₁ até D. Primeiro vamos encontrar a distância focal, que é igual a 2c, para isso, sabemos que o eixo maior mede 20 m, e o menor, 16 m. Então temos que:

2a = 20

a = 20 : 10

a = 10

Também temos que:

2b = 16

b = 16 : 2

b = 8

Lembrando-nos da relação pitagórica entre a, b e c na elipse, temos que:

a² = b² + c²

10² = 8² + c²

100 = 64 + c²

100 – 64 = c²

c² = 36

c = √36

c = 6

Sabendo que c = 6, a distância de F₁ até A é igual a: a – c = 10 – 6 = 4. Como queremos a distância de F₁ até o ponto D, basta calcularmos a soma da distância de F₁ até A mais de A até D.

4 + 1 = 5 m