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Inequações exponenciais

As inequações são usadas para determinar um intervalo de modo que a desigualdade de certas expressões seja válida. Quando falamos de inequações exponenciais devemos saber que as desigualdades entre os números dependerão do expoente de cada número, por exemplo:
22<23, pois são números de mesma base numérica, mas cujo expoente de um destes números é menor do que o outro.
Entretanto, esse foi um exemplo de uma desigualdade predeterminada, que não gera uma inequação exponencial. Para obtermos uma inequação, devemos ter um valor desconhecido que deve ser encontrado. Veja:
2x<23

Perceba que nesta desigualdade não conhecemos o valor de x, mas através do sinal de desigualdade somos capazes de analisar os dois números e descobrir quais são os valores para x, que faz com que 2x seja menor do que 23. Neste caso, são dois números de mesma base, portanto, podemos passar a desigualdade que está relacionada aos números da base para os expoentes e, assim, obteremos a seguinte desigualdade:

x<3. Ou seja, 2x será sempre menor do que 23 quando o valor de x for menor do que 3.

Sendo assim, o estudo de inequações exponenciais está diretamente relacionado à base do número que está na desigualdade. Com isso, teremos duas formas diferentes para analisar a desigualdade dos expoentes, de forma que cada uma dependerá da base do número.

Analisemos a seguinte desigualdade:

Note que a análise da inequação exponencial baseia-se em números de bases iguais. Sendo assim, quando nos depararmos com incógnitas nos expoentes, no meio de desigualdades, devemos encontrar números de bases iguais para podermos comparar seus expoentes.

Exemplo:



Exemplo:

Esta inequação é mais complexa pelo fato de ocorrer uma substituição na inequação para que se obtenha uma inequação do segundo grau.
Resolva a seguinte inequação no conjunto dos números Reais:




Se fizermos 5x=h, não estaremos alterando em nada a desigualdade, apenas facilitando a desigualdade para uma expressão cuja resposta poderemos encontrar. Mas esta substituição não pode ser deixada de lado ao final dos cálculos, pois queremos encontrar o valor de x e não de h.





Ao resolvermos essa inequação obteremos as seguintes soluções:



Mas lembre-se da relação que temos entre 5x=h:

Então temos que:



Sendo assim:



Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática

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