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Lei dos cossenos

A lei dos cossenos permite encontrar o valor da medida de um lado de um triângulo qualquer se a medida dos outros lados e o ângulo por eles formado forem conhecidos.

Lei dos cossenos
Conheça a lei dos cossenos, uma propriedade trigonométrica que pode ser aplicada em qualquer triângulo

Algumas das propriedades trigonométricas que estudamos são válidas apenas para triângulos retângulos, mas existem propriedades que podem ser aplicadas em quaisquer triângulos, tais como a lei dos senos e a lei dos cossenos, sobre a qual falaremos mais detalhadamente.

A lei dos cossenos pode ser aplicada a qualquer triângulo. No triângulo acutângulo a seguir, vamos traçar sua altura (h), isto é, uma reta saindo do vértice A que forma um ângulo de 90° com o lado BC:


Ao traçar a altura de um triângulo acutângulo, transformamos esse triângulo em dois triângulos retângulos.

Para facilitar a análise desse triângulo, identificamos como b o lado oposto ao vértice B, c como o lado oposto ao vértice C, e como o lado oposto ao vértice A foi dividido em duas partes, chamamos o segmento BD como m e o segmento DC como a – m. Entre as propriedades trigonométricas conhecidas, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD:

c² = m² + h² → h² = c² – m²

Aplicando novamente o Teorema de Pitágoras, agora para o triângulo ADC, teremos:

b² = h² + (a – m)²

Substituindo nessa equação o valor encontrado anteriormente para , teremos:

b² = + (a – m)²

b² = c² – m² + (a – m)²

b² = c² – m² + a² – 2am + m²

b² = c² + a² – 2am

Mas a medida do comprimento do lado m pode ser dada através de:

cos  = mm = c . cos 

                                                            c 

Substituindo o valor encontrado para m na fórmula anterior, teremos:

b² = c² + a² – 2am
b² = c² + a² – 2ac.cos 

Essa equação encontrada é o que chamamos de “Lei dos Cossenos”. Analogamente ao que foi feito, podemos escrever outras duas equações que compõem também a lei dos cossenos:

c² = a² + b² – 2ab.cos 
a² = b² + c² – 2bc.cos Â

Podemos então definir que, em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por esses lados. A lei dos cossenos pode ser também aplicada a triângulos retângulos e obtusângulos.

Vejamos a resolução de um exemplo:

Considere um triângulo que possui dois lados de medidas 10 e 12 cm. O encontro desses lados forma um ângulo de 60°. Qual é o valor da medida do terceiro lado do triângulo?

Para iniciar a resolução desse problema, vamos fazer um esboço do triângulo descrito:


Esboço do triângulo descrito no exemplo 1

Seja a = 12, b = x, c = 10  , = 60°, aplicando a lei dos cossenos, teremos:

b² = c² + a² – 2ac.cos 

x² = 10² + 12² – 2.12.10.cos 60°

x² = 100 + 144 – 240.½

x² = 244 – 120

x² = 124

x = √124

x = 2√31 cm

x ≈ 11,13 cm

Portanto, o terceiro lado do triângulo mede aproximadamente 11,13 cm.

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