Meia-vida de elementos radioativos e a matemática

Sempre procuramos saber onde iremos aplicar aquilo que estudamos em sala de aula para que o que foi aprendido tenha alguma significação, seja útil em nossas relações cotidianas. As disciplinas de física, química e biologia são algumas áreas de aplicação da matemática, mas podemos vê-la sendo aplicada em todos os momentos de nossa vida e nas mais variadas profissões. A criação de modelos matemáticos para representar e explicar o comportamento de algum fenômeno físico, químico, biológico ou até social é uma forma de melhor compreender os objetos em estudo.

Diante disso, vamos analisar uma aplicação da matemática na química, mais precisamente o uso de funções exponenciais no estudo de materiais radioativos. A humanidade sempre conviveu com a radioatividade, quer seja de origem natural ou induzida. Isso mesmo, além da radioatividade produzida pelo próprio homem, há aquela que surge diretamente da natureza. Até mesmo em vegetais pode ser detectada a radioatividade.

Esse fenômeno consiste basicamente em: se um átomo tiver seu núcleo muito energético ele tende a se estabilizar, liberando o excesso de energia em forma de partículas e ondas. As partículas liberadas são conhecidas como radiações alfa e beta; as ondas eletromagnéticas são denominadas de raios gamas. Meia-vida é o tempo necessário para que a atividade radioativa de um elemento seja reduzida pela metade. Após o primeiro período de meia-vida de um elemento, apenas metade de seus átomos apresentam radioatividade. Após o segundo período, apenas ¼ dos átomos. Apenas 1/8 dos átomos apresentarão radioatividade após o terceiro período de meia-vida, e assim por diante.

Observe que esse fenômeno (meia-vida) característico de elementos radioativos apresenta o comportamento de uma função exponencial. Vamos analisar com mais cuidado para melhor compreensão.

Imagine que determinado elemento possua x átomos com atividade radioativa. Após o primeiro período de meia-vida, o número de átomos radioativos será de x/2. Em seguida, após o terceiro período de meia-vida, o número de átomos será de x/4 e x/8 após o quarto período. Analisando a sequência: x, x/2, x/4, x/8...

Podemos concluir que o termo geral é da forma:

Onde,
n → é o número de átomos radioativos após um período de meia-vida.
x → é o número inicial de átomos radioativos do elemento.
t → é o período de meia-vida.

Exemplo: Um elemento químico radioativo possui hoje 64 átomos radioativos. Sabendo que seu período de meia-vida é de 15 dias, quantos átomos radioativos ele terá no final de 3 meses?

Solução: Temos que 3 meses = 90 dias = 6 x 15 dias = 6 períodos de meia-vida. Portanto t = 6. O número de átomos radioativos hoje é de 64, portanto x = 64. Aplicando a expressão citada anteriormente, teremos:

Assim, podemos concluir que ao final de 3 meses esse elemento químico terá apenas 1 átomo radioativo.

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática