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Método da adição para sistemas com duas equações e duas incógnitas

Sistemas com duas incógnitas e duas equações podem ser resolvidos por meio de um método em que as duas equações são somadas.

Método da adição para sistemas com duas equações e duas incógnitas
Sistemas lineares de duas incógnitas e duas equações podem ser resolvidos pelo método da adição

Existem vários métodos que podem ser usados para resolver sistemas de equações. Um dos mais conhecidos é o método da adição. Ele visa a eliminar uma das incógnitas de um sistema pela soma dos termos semelhantes das equações que o compõem. No exemplo a seguir, observe que a simples soma dos termos das equações já zera uma das suas incógnitas:

Método da adição, exemplo 1

As somas realizadas nesse exemplo foram: 2x + 4x, 8y + (– 8y) = 0 e 16 + 8 = 24. Observe que, pelo resultado da soma, podemos encontrar o valor numérico de uma das incógnitas do sistema:

6x = 24

x = 24
      6

x = 4

Para descobrir a incógnita y, basta substituir o valor numérico de x em uma das duas equações do sistema:

2x + 8y = 16

2·4 + 8y = 16

8 + 8y = 16

8y = 16 – 8

8y = 8

y = 8
      8

y = 1

A solução desse sistema é S = {4, 1}.

Quando a soma dos termos não zera uma das incógnitas

O sistema do exemplo anterior foi resolvido com facilidade porque foi criado com os coeficientes da incógnita y opostas aditivas. Sempre que isso acontecer para uma das incógnitas, o método da adição é o mais indicado, pois os resultados são encontrados com muito mais agilidade.

Quando as incógnitas não forem opostas aditivas, ou seja, quando não forem o mesmo número com sinais diferentes, é necessário fazer um procedimento antes de somar as duas equações para que uma das incógnitas seja eliminada.

Para compreender esse procedimento, observe o exemplo a seguir:

Método da adição, exemplo 2

Observe que não é possível eliminar nenhuma das incógnitas, pois a soma das equações é:

5x + 9y = 28

Para viabilizar a eliminação de uma incógnita, devemos multiplicar uma das equações por uma constante para que pelo menos uma de suas incógnitas torne-se o inverso aditivo de uma das incógnitas da outra equação.

No exemplo, multiplicaremos a segunda equação por – 2. Esse valor foi escolhido para que o termo 3y tenha como resultado – 6y, que é o inverso aditivo de 6y da outra equação. Assim, é possível somar as duas, eliminando a incógnita y nesse processo.

Produto de uma das equações por uma constante

Observe que, ao multiplicar uma das equações por uma constante, todos os seus termos devem ser multiplicados por essa constante. Após a multiplicação, o sistema fica pronto para que a soma entre as equações seja feita. O resultado dessa soma é o seguinte:

– x = – 2

x = 2

Com o valor de uma das incógnitas, basta substituí-lo em uma das equações do sistema para descobrir o valor da outra incógnita:

3x + 6y = 18

3·2 + 6y = 18

6 + 6y = 18

6y = 18 – 6

6y = 12

y = 12
      6

y = 2

A solução do sistema é S = {2, 2}

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