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Multiplicação de Matrizes

A multiplicação de matrizes é um processo de cálculos simples, mas que exige alguns cuidados para ser executada com exatidão.

Multiplicação de Matrizes
Aprenda a realizar a multiplicação entre matrizes

Quando trabalhamos com matrizes, podemos caracterizá-las em relação ao número de linhas e colunas, sendo que identificamos a linha por m e a coluna por n, representando-as, assim, da seguinte forma:

Amxn

Lemos que a matriz A possui m linhas e n colunas. Se, por exemplo, temos uma matriz B com três linhas e quatro colunas, ela será representada como B3x4.

Semelhantemente, cada elemento da coluna é caracterizado pela linha e coluna em que se encontra. A letra i representa sua linha e a j representa sua coluna, portanto, dizemos que o elemento aij está na linha i e na coluna j. Como exemplo, podemos citar o elemento a35, que está localizado na linha 3 e na coluna 5. Vejamos uma representação dos elementos dispostos em uma matriz:

Demonstração da Matriz

Quando multiplicamos uma matriz por outra, é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. O resultado dessa multiplicação será uma matriz com o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. Vejamos:

A m x n . B n x p = C m x p

A multiplicação das matrizes A2 x 3 e B4 x 3 é impossível, pois a primeira possui três colunas e a segunda possui quatro linhas. Como esses valores não são iguais, a multiplicação não ocorre. Agora se pretendemos multiplicar as matrizes A2 x 3 e B3 x 4, além da multiplicação ser totalmente possível, podemos ainda garantir que o produto dessas matrizes será uma matriz A2 x 4.

Ao multiplicarmos uma matriz A por outra matriz B, temos que multiplicar todos os elementos da primeira linha da matriz A pelos elementos da primeira coluna da matriz B e somá-los. Veja como:

Multiplicação de Matrizes 1

Sendo que a soma (2.5 + 3.6 + … + 8.1) corresponde ao elemento da primeira linha e da primeira coluna da matriz resultante. Repetimos esse processo com todas as linhas e todos as colunas, como podemos ver a seguir no algoritmo da multiplicação de matrizes:

Multiplicação de Matrizes Colorida

Vamos verificar como ocorre a multiplicação da matriz A e B, sendo:

Demonstração da Matriz A e Demonstração da Matriz B

Temos, então:

Vamos agora verificar se a multiplicação é comutativa. Para isso, trocaremos a ordem das matrizes, multiplicando B e A:

Multiplicando da Matriz A e B

Multiplicando da Matriz B e A

Você observou que A . B é diferente de B . A? Quando trabalhamos com matrizes, a multiplicação não é comutativa.

Vale ressaltar que existe o elemento neutro na multiplicação de matrizes, é a matriz identidade. Esta sempre é quadrada e possui uma diagonal principal formada apenas por “1”, enquanto os demais elementos da matriz são preenchidos por zeros. Qualquer matriz que for multiplicada por uma matriz identidade nunca sofrerá alteração. Vejamos um exemplo:

Multiplicando com a Matriz Identidade

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