Números complexos

O conjunto dos números complexos foi criado com o intuito de resolver equações que envolvem raízes de números negativos. Como exemplo, se utilizarmos a fórmula de Bháskara na equação x² – 6x + 10 = 0, teremos:

Δ = b² – 4·a·c

Δ = (– 6)² – 4·1·10

Δ = 36 – 40

Δ = – 4

Como bem sabemos, é impossível que uma equação do segundo grau que tem Δ negativo possua solução real. Entretanto, considerando o conjunto dos números complexos, podemos solucionar essa equação. Na realidade, foi justamente por isso que foi criado esse conjunto. Assim, substituindo os valores do exemplo acima na fórmula de Bháskara, teremos:

x = – b ± √∆
        2a

x = – (– 6) ± √(–4)
         2

x = 6 ± √(–4)
      2

Observe que não é possível encontrar √(– 4) dentro do conjunto dos números reais, pois 2·2 = 4 e (– 2)(– 2) = 4. A sugestão do matemático italiano Rafael Bombelli foi considerar que √(–4) = √(–1·4) = 2√– 1 é uma forma de solucionar essa equação. E, após isso, deve-se trocar √–1 por i. Portanto, as soluções dessa equação seriam:

Esse tipo de número foi chamado de número complexo.

Forma algébrica

Os números complexos podem ser apresentados de algumas maneiras distintas. A mais comum delas é a forma algébrica, que é usada para apresentar as soluções desse tipo de equação. Essa forma é definida da seguinte maneira: O número Z é um número complexo se:

Z = a + bi,

Em que a e b são números reais e i = √–1.

Os números complexos são divididos em duas partes: a é a parte real do número e b é a sua parte imaginária. Observe que é possível obter todo o conjunto dos números reais fazendo uso apenas da parte real de Z. Isso significa que o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos números reais.

Operações entre números complexos

Como se trata de um conjunto numérico, é possível definir todas as operações matemáticas envolvendo números complexos.

A adição entre números complexos deve ser feita apenas entre “termos semelhantes”, ou seja, parte real deve ser somada apenas à parte real, e parte imaginária apenas com parte imaginária. Essa mesma regra também é válida para a subtração.

Já a multiplicação entre números complexos deve ser feita por meio da propriedade distributiva da multiplicação. Assim, dados os números complexos z = a + bi e y = c + di, o produto zy será:

(a + bi)(c + di)

ac + adi + bci + bdi²

ac + adi + bci – bd (pois i = √–1)

ac – bd + (ad + bc)i

A divisão entre números complexos, em sua forma algébrica, é feita multiplicando divisor e dividendo pelo conjugado do dividendo.

Forma polar

Os números complexos podem ser escritos de outras maneiras que não a forma algébrica. A forma polar envolve os conceitos da trigonometria, e o número complexo z, em sua forma polar ou trigonométrica, é definido como:

z = p(cosθ + isenθ)

Para compreender os elementos presentes nessa forma, é preciso conhecer algumas informações.

1 – Todo número complexo representa um vetor no plano de Argand-Gauss (plano cartesiano em que o eixo x é o eixo real e o eixo y é o eixo imaginário). Veja na imagem a seguir o número complexo z = a + bi.

O ângulo formado entre o eixo real (eixo x) e o vetor do número complexo z é θ e o comprimento desse vetor é p.