Poliedros regulares

Poliedros convexos formados por polígonos regulares e congruentes são regulares.

Poliedros regulares
Cinco classes de poliedros regulares

Poliedros são sólidos geométricos limitados por polígonos, que, por sua vez, são figuras geométricas planas limitadas por segmentos de reta. Um poliedro é dito regular quando obedece às três exigências seguintes:

1) é convexo;

2) é também poliedro de Platão;

3) Os polígonos que o formam, chamados de faces, são regulares e congruentes.

Todo poliedro regular é um poliedro de Platão, mas existem poliedros de Platão que não são regulares. Veja a seguir uma explicação sobre cada uma das condições para que um poliedro seja regular.

O que é um poliedro convexo?

Para compreender a ideia de poliedro convexo, é preciso saber a seguinte definição dos planos no espaço: Todo plano divide o espaço em dois semiespaços. Essa propriedade é parecida com a de semirreta. É comparável ainda com uma secção no espaço que o divide ao meio. Qualquer face de um poliedro está contida em um plano – por ser uma figura plana – e, por isso, determina um corte no espaço, dividindo-o.

Um poliedro é convexo quando está inteiramente contido em um dos dois semiespaços determinados por qualquer uma de suas faces.

A figura acima é um poliedro convexo. Para ilustrar isso, colocamos um plano na cor lilás em uma de suas faces, mas a mesma ideia aplica-se para qualquer face.

Dessa maneira, quando há pelo menos uma face de um poliedro que determina dois semiespaços, nos quais existem partes do poliedro, esse poliedro não é convexo.

A figura acima não é convexa, pois existe uma face, contida no plano representado pelo quadrilátero roxo, que determina dois semiespaços. Como existem partes do poliedro em ambos, ele não é convexo.

O que é um poliedro de Platão?

Os poliedros de Platão são aqueles que possuem as seguintes propriedades:

1) Todas as faces apresentam o mesmo número de arestas;

2) Todos os vértices possuem o mesmo número de arestas, isto é, se um vértice é a extremidade de três arestas, por exemplo, então todos serão também.

3) É convexo;

4) Seja o número de faces igual a F, de arestas igual a A e de vértices igual a V, então vale a seguinte relação, chamada de relação de Euler:

V – A + F = 2

Existem infinitos poliedros de Platão, contudo, todos eles são um dos cinco seguintes, variando apenas em dimensões:

1) Tetraedro regular;

2) Hexaedro regular, mais conhecido como cubo;

3) Octaedro regular;

4) Dodecaedro regular;

5) Icosaedro regular.

Imagens dos poliedros mencionados acima
Imagens dos poliedros mencionados acima

O que é um polígono regular?

São polígonos convexos que possuem todos os lados e ângulos congruentes. A imagem abaixo ilustra um polígono convexo.

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