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Polinômios

Expressões algébricas que possuem monômios são consideradas polinômios. O estudo sobre essas expressões está diretamente relacionado com as operações aritméticas.

Polinômios
Os polinômios são expressões algébricas que possuem monômios formados por coeficiente e parte literal

Um polinômio é uma expressão algébrica formada por monômios e operadores aritméticos. O monômio é estruturado por números (coeficientes) e variáveis (parte literal) em um produto, e os operadores aritméticos são: soma, subtração, divisão, multiplicação e potenciação. Para compreender melhor o que é um polinômio, veja alguns exemplos:

  • 5
    Coeficiente: 5
    Parte literal: Qualquer variável elevada a zero, ou seja, x0 = 1 → 5 . x0
    Operadores aritméticos: Multiplicação

  • 2 . x . y
    Coeficiente: 2
    Parte literal: a . y
    Operadores aritméticos: Multiplicação

  • 3 . x . y + (4 . x : 2 . x)
    Coeficiente: 3, 4 e 2
    Parte literal: x .y e x
    Operadores aritméticos: Adição, multiplicação e divisão.

  • {[(2 . x + 6 . x)2 – 5] + 3 . y – 1 . x}
    Coeficiente: 1, 2, 3, 5 e 6
    Parte literal: x e y
    Operadores aritméticos: Adição, subtração, multiplicação e potenciação.

Classificação de Polinômios

Os polinômios podem ser classificados de acordo com a sua quantidade de termos:

  • Monômio: Possui um único produto com coeficiente e parte literal. Exemplos:

⇒ 2 . x . y

⇒ 6

⇒ 12 . x2

  • Binômio: É um polinômio que possui somente dois monômios. Exemplos:

⇒ 4 . x . y + 5 . x

⇒ 34 . z + 12 . x

⇒ 105 . z + 25 . z2

  • Trinômio: É um polinômio que possui somente três monômios. Exemplos:

⇒ 2 . x . y + 2x - y3
                    3

⇒ x. z4 + 25 – z . x

⇒ 2 . w + 12 . x – 5 . w2

  • Polinômio: possui uma infinidade de monômios. A sua expressão geral é dada por:

    axn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+ax+a

Grau de um Polinômio

  • Grau de polinômio com uma variável: Quando o polinômio possui somente uma variável (termo desconhecido), seu grau é dado pelo maior valor que o expoente da variável assume. Exemplos:

⇒ 2 . x2 + 3 . x

Variável: x
Maior expoente em relação à variável x: 2
Grau: Polinômio de 2° grau

⇒ 3 . z + 4 + 5 . z3

Variável: z
Maior expoente em relação à variável z: 3
Grau: Polinômio de 3° grau

  • Grau do polinômio com mais de uma variável: Quando o polinômio possui mais do que uma variável, para saber o seu grau, devemos somar os expoentes de cada monômio. A maior soma de expoentes determinará o grau. Exemplo:

3 + 12 . x . y – 2 . x . y2
Grau do monômio: x1 . Y1 → 1 + 1 = 2
Grau do monômio: x . y2 → 1 + 2 = 3

Da soma de expoentes de cada monômio, obtivemos que: para (x . y), o grau é 2; e para (x . y2), o grau é 3. Sendo assim, o polinômio (3 + 12 . x . y – 2 . x . y2) é de terceiro grau.

Tipos de Polinômio

Os polinômios podem ser de dois tipos: completo ou incompleto.

  • Polinômios completos: O polinômio será completo quando a ordem dos seus expoentes for decrescente (do maior para o menor número) e não faltar nenhum expoente na sequência. Veja:

⇒ 3. x5 + 2 . x4 – x3 + 12 . x2 + 5 . x1 – 2 . x0

Observe que os expoentes em relação à variável x seguem uma sequência decrescente, que é dada por: 5, 4, 3, 2, 1 e 0.

  • Polinômios incompletos: O polinômio será incompleto quando faltar algum número na sua sequência de expoentes. Veja:

⇒ 3. x5 + 5 . x1 – 2 . x0

A forma completa desse polinômio seria: 3. x5 + 0 . x4 – 0 . x3 + 0 . x2 + 5 . x1 – 2 . x0. Faltaram os expoentes em relação à variável x: x4, x3 e x2. Por esse motivo, o polinômio é incompleto.

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