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Posição relativa entre planos

A posição relativa entre planos é o estudo de como esses objetos interagem no espaço tridimensional: com ou sem pontos na intersecção.

Posição relativa entre planos
Planos paralelos e perpendiculares formando um cubo

Planos são figuras geométricas de duas dimensões que, geralmente, ocupam parte do espaço tridimensional. Ao escolher dois planos quaisquer no espaço, é possível identificar se existe interação entre eles e o modo como ela acontece. Isso depende da posição relativa entre esses dois planos.

O que é plano?

O plano é uma coleção infinita de retas paralelas que são perpendiculares a uma única reta. Essa última existe para que as retas paralelas não façam qualquer ondulação. O resultado disso é uma superfície plana parecida, por exemplo, com a superfície de uma mesa ou com a parede de uma casa.

Construção de um plano a partir de retas paralelas
Construção de um plano a partir de retas paralelas

As posições relativas entre planos são três, a saber:

Planos coincidentes

Caso idêntico ao de retas coincidentes. Quando dois planos equivalem a um único plano, ou seja, quando compartilham todos os pontos, eles são chamados de coincidentes.

Exemplo de planos coincidentes: são o mesmo plano
Exemplo de planos coincidentes: são o mesmo plano

As retas coincidentes são aquelas que possuem dois pontos em comum. O resultado disso é que elas também compartilham todos os outros infinitos pontos. Já os planos coincidentes são aqueles que possuem três pontos não colineares – que não estão em linha reta – em comum.

Também é possível pensar nessa definição a partir de uma reta e um ponto fora dela, duas retas paralelas ou duas retas concorrentes. Se dois planos compartilham uma reta e um ponto fora dela ou duas retas paralelas ou duas retas concorrentes, eles são coincidentes.

Planos secantes

Os planos secantes, também chamados de planos concorrentes, equivalem às retas concorrentes. Assim, dois planos são secantes quando são distintos e possuem pontos em sua intersecção. Portanto, para que dois planos sejam secantes, é necessário que eles não sejam coincidentes, mas que possuam pontos em comum.

Outro modo de definir planos secantes é o seguinte: Se a intersecção entre dois planos é uma reta, esses planos são secantes. Logo, os pontos em comum entre os dois planos não coincidentes sempre serão uma reta.

As propriedades que envolvem os planos secantes α e β são as seguintes:

  • Se os planos α e β são perpendiculares e a reta r, pertencente ao plano α, é perpendicular à intersecção entre esses planos, então r também é perpendicular ao plano β.

  • 2 – Quando um plano contém uma reta perpendicular a outro, esses dois planos são perpendiculares.

Planos paralelos

Dois planos são paralelos quando não possuem ponto em comum. As propriedades dos planos paralelos são as seguintes:

  • Se um plano contém duas retas concorrentes paralelas a outro plano, esses dois planos são paralelos. Para que uma reta r seja paralela a um plano, é necessário encontrar uma reta s nesse plano que seja paralela à reta r;

  • A distância entre dois planos paralelos (α e β) é igual à distância de ponto a plano entre um ponto pertencente a α e o plano β.

Exemplo de planos que não possuem ponto em comum
Exemplo de planos que não possuem ponto em comum

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