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Propriedades dos logaritmos

As propriedades dos logaritmos podem simplificar e tornar mais fáceis os cálculos que envolvem essa operação matemática.

Propriedades dos logaritmos
Existem propriedades que podem facilitar o cálculo de logaritmos

Os logaritmos, criados por John Napier e Jobst Burgi, e posteriormente adaptados por Henry Briggs, possuem a seguinte lei de formação:

logab = x, em que:

a = base do logaritmo

b = logaritmando

x = logaritmo

O logaritmo de um número b, em uma base a, é o expoente x que se deve aplicar à base a para obter o número b. Dessa forma:

logab = x ax = b

Exemplos:

log39 ↔ 32 = 9

log10100 ↔ 102 = 100

log216 ↔ 24 = 16

log981 ↔ 92 = 81

Propriedades dos logaritmos

A partir dessa definição, podemos apresentar algumas definições que auxiliarão no desenvolvimento de algumas situações envolvendo logaritmo. Veja:

O logaritmo do número 1, em qualquer base sempre, será igual a 0.

loga1 = 0, pois a0 = 1

O logaritmo de qualquer número a, na própria base a, será igual a 1.

logaa = 1, pois a1 = a

O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base.

logaam = m, pois m·logaa = m·1 = m

A potência de base a e expoente logab é igual a b.

alogab = b, pois logab = x → ax = b

Dois logaritmos são iguais quando seus logaritmandos forem iguais.

logab = logac ↔ b = c

Exemplos

Aplicar a definição de logaritmo para calcular o valor de x em cada caso:

a) log327 = x → 3x = 27 → x = 3

b) log81x = 3/4 → x = 813/4 → x = (34)3/4 → x = 312/4 → x = 33x = 27

c) log4√2 = x → 4x = √2 → 22x = √2 → 22x = 21/2 → 2x = 1/2 → x = 1/4

d) logx8 = 2 → x2 = 8 → √x = √8 → x = 2√2

e) log4(2x – 1) = 1/2 → 2x – 1 = 41/2 → 2x – 1 = √4 → 2x – 1 = 2 → 2x = 3 → x = 3/2

f) log1818 = x → 18x = 18 → x = 1

g) logx1024 = 2 → x2 = 1024 → √x² = √1024 → x = 32

h) log40,25 = x → 4x = 0,25 → 4x = 25/100 → 4x = 1/4 → 4x = 4–1 → x = –1

i) 16log25 = (24)log25 = (2log25)4 = 54 = 625

j) log0,01 = x → 10x = 0,01 → 10x = 1/100 → 10x = 10–2 x = –2

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