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Propriedades da função exponencial

As propriedades da função exponencial resultam das potências e podem facilitar os cálculos com esse tipo de função que possui uma variável no expoente.

Propriedades da função exponencial
No gráfico da função exponencial, todos os valores da função estão acima do eixo x

Uma função exponencial é uma função que possui uma variável como expoente. Matematicamente, ela pode ser representada por f de R em R, que é obtida pela lei de formação f(x) = ax, em que “a” é um número real dado, a > 0 e a ≠ 1. As funções desse tipo possuem algumas propriedades resultantes das potências, além de características que podem ajudar na realização dos cálculos. Essas propriedades são:

1ª Propriedade: Se x = 0, então f(x) = 1.

Isso acontece por causa das propriedades de potências. Observe o que ocorre à função f(x) = 2x quando x = 0:

f(x) = 2x

f(0) = 20

f(0) = 1

No entanto, esse resultado vale para todo a pertencente aos números reais, pois qualquer número elevado a zero será igual a um. Sendo assim, o caso geral é:

f(x) = ax

f(0) = a0

f(0) = 1

2ª Propriedade: Se a > 1, então, a função exponencial será crescente.

Uma função é considerada crescente quando dados os dois valores distintos do domínio x1 e x2, com x1 < x2: f(x1) < f(x2).

Assim, na função exponencial, podemos observar os expoentes x1 e x2. Toda vez que x1 < x2, e que a > 1, teremos como consequência ax1 < ax2.

Por exemplo: f(x) = 2x. Observe que a = 2, que é maior que 1. Assim, essa função é crescente. Por isso, tomando x1 = 1 e x2 = 2, teremos:

ax1 < ax2

21 < 22

2 < 4

3ª Propriedade: Se “a” for menor que 1 e maior que zero, então, a função exponencial será decrescente.

Uma função é considerada decrescente quando dados os dois valores distintos do domínio x1 e x2, com x1 < x2: f(x1) > f(x2).

Assim, na função exponencial, podemos observar os expoentes x1 e x2. Toda vez que x1 < x2, e que 0 < a < 1, teremos como consequência ax1 > ax2.

Por exemplo: f(x) = 0,5x. Nesse exemplo, a = 0,5 e está no intervalo referente a essa propriedade. Como essa função é decrescente, se x1 = 1 e x2 = 2, teremos:

x1 < x2

ax1 > ax2

0,51 > 0,52

0,5 > 0,25

Observe que “a” é obrigatoriamente diferente de 1 por definição da função e, se for igual a zero, a função será contemplada pela primeira propriedade. Por isso, o intervalo aberto 0 < a < 1.

4ª Propriedade: Sempre que ax1 = ax2, teremos x1 = x2.

Isso acontece para todo valor de x, desde que a ≠ 1 e a > 0.

Por exemplo: na função f(x) = 7x. Se f(x1) = 49 e f(x2) = 49, teremos:

f(x1) = f(x2)

ax1 = ax2

7x1 = 7x2

Como o resultado das duas potências, no exemplo, é igual a 49, então, x1 e x2 só podem ser iguais a 2.

x1 = x2 = 2

5ª Propriedade: O gráfico da função exponencial sempre estará localizado acima do eixo x.

Isso acontece porque, por definição, “a” sempre será maior que zero em toda função exponencial. Como “a” é base de uma potência, o resultado dessa potência sempre será maior que zero. Isso significa que, no plano cartesiano, os valores de f(x) correspondentes a y nunca serão negativos, ou seja, nunca ficarão abaixo do eixo x.

Quando a função é decrescente, os valores de y no plano cartesiano aproximam-se de zero sempre que o valor de x aumenta. Caso contrário, a função afastar-se-ia de zero com o aumento de x.

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