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Propriedades do polígono regular inscrito

A partir das propriedades do polígono regular inscrito na circunferência, é possível saber se suas medidas são proporcionais ou descobrir alguns de seus elementos.

Propriedades do polígono regular inscrito
Polígono regular de seis lados inscrito em uma circunferência

Os polígonos regulares inscritos em uma circunferência apresentam uma série de propriedades que estão relacionadas a seu número de lados. Para compreender essas propriedades, lembre-se:

  • Polígonos regulares são aqueles que possuem todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos com a mesma medida.

  • Polígonos são ditos inscritos em uma circunferência quando todos os seus vértices são pontos pertencentes a ela.

Exemplo de polígono regular inscrito em uma circunferência
Exemplo de polígono regular inscrito em uma circunferência

Propriedades do polígono regular inscrito

As propriedades a seguir somente são válidas quando o polígono inscrito na circunferência é regular.

1 – Os raios de um polígono regular inscrito em uma circunferência o dividem em triângulos isósceles de mesma área. Então, a área do polígono regular é igual à soma das áreas desses triângulos. Como o número de lados do polígono é igual ao número de triângulos construídos, dessa forma, a área do polígono é também igual ao produto do seu número de lados pela área de um desses triângulos.

Na imagem acima, observe que os raios do polígono são os segmentos que ligam o ponto O, centro da circunferência, à sua borda. Como todos esses raios apresentam o mesmo comprimento, os triângulos que dividem o polígono são isósceles. Além disso, cada lado do polígono é também um lado de um dos triângulos e, por terem a mesma medida pelo caso de congruência “LLL”, esses triângulos são considerados congruentes.

2 – O ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um polígono regular inscrito é o centro da circunferência que o circunscreve. Lembrando que mediatriz é a reta perpendicular a um segmento e passa por seu ponto médio, essa propriedade pode ser utilizada para desenhar a circunferência a partir do polígono. Observe na seguinte imagem as mediatrizes de um polígono inscrito:

3 – O ângulo central formado por dois raios consecutivos de um polígono inscrito em uma circunferência é dado pela razão entre 360° e o número de lados desse polígono.

4 – Dois polígonos regulares inscritos, em circunferências distintas e com o mesmo número de lados, possuem perímetros proporcionais às medidas de seus lados.

Se dois polígonos possuem o mesmo número de lados e estão inscritos em circunferências distintas, então, esses polígonos são semelhantes. É por esse motivo que existe a proporcionalidade entre os lados desses polígonos e seus perímetros. A imagem a seguir mostra essa situação com as medidas dos polígonos em destaque:

Observe que a proporção entre lados e perímetros dos dois polígonos é válida:

 1 
 3     18

5 – Dois polígonos inscritos, em circunferências distintas e com o mesmo número de lados, apresentam seus perímetros proporcionais a seus apótemas.

A partir disso, observe as medidas dos apótemas e dos perímetros dos polígonos a seguir e a proporção formada por suas medidas:

Assim, a proporção entre essas medidas é:

12  = 1,73
18      2,6 

O resultado dessa proporção é aproximado.

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