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Propriedades do triângulo equilátero

Triângulos equiláteros são aqueles que possuem os três lados congruentes. Isso gera propriedades úteis para problemas que envolvem esse tipo de triângulo.

Propriedades do triângulo equilátero
O triângulo equilátero possui três lados congruentes

Triângulos são polígonos que possuem três lados. Quando todos os lados de um triângulo são congruentes, isto é, possuem a mesma medida, esse triângulo é classificado como equilátero. Essa característica garante a existência de algumas propriedades que podem ser usadas para facilitar cálculos quando o problema envolve esse tipo de triângulo ou para problemas específicos da Geometria. Essas propriedades são as seguintes:

→ Todo triângulo equilátero é também isósceles

Os triângulos isósceles são aqueles que possuem dois lados congruentes. Todo triângulo que possui três lados congruentes (equilátero) necessariamente possui dois lados congruentes. Assim, os triângulos equiláteros herdam as propriedades dos triângulos isósceles.

O triângulo equilátero também é isósceles
O triângulo equilátero também é isósceles

Ângulos de um triângulo equilátero são congruentes

Como todos os lados de um triângulo equilátero são congruentes, os ângulos também são. Assim sendo, todos os ângulos de um triângulo equilátero medem 60°. A recíproca também é verdadeira: se todos os ângulos de um triângulo medem 60°, ele é equilátero, como mostra a figura a seguir:

Ângulos de um triângulo equilátero

→ Todos os ângulos externos de um triângulo equilátero medem 120°

Como o ângulo externo e o interno são suplementares, isto é, a soma entre eles é igual a 180°, qualquer ângulo externo mede 120°. Observe os ângulos externos de um triângulo equilátero na imagem a seguir:

Ângulos externos do triângulo equilátero

A bissetriz de qualquer ângulo de um triângulo equilátero é também mediana do lado oposto a esse ângulo

Toda bissetriz divide o lado oposto em duas partes. Nos triângulos equiláteros, esse lado é dividido em partes iguais, pois a bissetriz divide o triângulo equilátero em dois triângulos congruentes.

A bissetriz de qualquer ângulo de um triângulo equilátero é também a altura relativa ao lado oposto a esse ângulo

Como qualquer bissetriz de um triângulo equilátero divide-o em dois triângulos congruentes, a única possibilidade para os ângulos do ponto de encontro da bissetriz com a base é que sejam de 90°, pois eles são suplementares e congruentes.

A figura a seguir é um exemplo de uma das bissetrizes de um triângulo equilátero e das medidas obtidas pelo corte feito por ela.

Bissetriz qualquer do triângulo equilátero

É possível apenas dizer que a bissetriz de um triângulo equilátero é também altura e mediana.

→ Seja o ponto P o encontro entre as medianas de um triângulo equilátero, então, P é também baricentro, ortocentro e incentro desse triângulo.

Isso acontece por causa das duas últimas propriedades. Como mediana, altura e bissetriz (relativas a um mesmo lado) são o mesmo segmento de reta, então, P é ponto de encontro de bissetrizes, medianas e alturas. Isso pode ser observado na figura a seguir:

P: Ortocentro, baricentro e incentro

Exemplo: calcule a medida da altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 10 cm.

Solução: esse triângulo é equilátero. Se seu lado mede 10 cm, a bissetriz, que também é altura, divide um dos lados do triângulo em dois segmentos iguais, de 5 cm, como destacado na figura a seguir:

Triângulo equilátero exemplo

Observe que a altura desse triângulo pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras:

102 = 52 + x2

100 = 25 + x2

100 – 25 = x2

75 = x2

√x2 = √75

x = 8,66, aproximadamente

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