Quadrado

O quadrado é um polígono com quatro lados congruentes e quatro ângulos retos. Encontramos essa figura geométrica em construções, pinturas e objetos de decoração diversos, como no formato de janelas, quadros e logotipos.

Leia também: Triângulo — o polígono que possui o menor número de lados

Resumo sobre quadrado

• O quadrado é um polígono de quatro lados.
• Os quatro lados de um quadrado são congruentes e os quatro ângulos medem 90°.
• Em um quadrado ABCD, os segmentos AC e BD são chamados de diagonais.
• As diagonais de um quadrado são perpendiculares e se interceptam em seus respectivos pontos médios.
• O quadrado é um caso específico de retângulo, mas o contrário não é verdade, pois os quatro lados do retângulo não são congruentes.
•  A medida d da diagonal de um quadrado de lado l é dada pela fórmula:

\(d=l\sqrt2\)

• O perímetro p de um quadrado de lado l é a soma dos quatro lados, o que resulta na fórmula:

\(P=4l\)

• A área A de um quadrado de lado l é o produto de dois lados, o que resulta na fórmula:

  \(A=l^2\)

O que é quadrado?

O quadrado é um paralelogramo com quatro lados de mesma medida e quatro ângulos de 90°. Na imagem abaixo, temos que \(AB=BC=CD=DA\), AD é paralelo a BC, AB é paralelo a DC e \(\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90°\).

Quais são os elementos do quadrado?

Como o quadrado é um polígono, seus elementos são:

• Lados: segmentos que delimitam o quadrado.
• Vértices: pontos de encontro de dois lados adjacentes.
• Ângulos internos: aberturas formadas por dois lados adjacentes.
• Diagonais: segmentos que unem vértices opostos.

No quadrado ABCD, temos que:

• AB, BC, CD e DA são os lados.
• A, B, C e D são os vértices.
• \(\hat{A},\ \hat{B},\ \hat{C}\) e \(\hat{D}\) são os ângulos internos.
• AC e BD são as diagonais.

Quais são as propriedades do quadrado?

O quadrado é um caso particular de retângulo, pois é um paralelogramo com quatro ângulos retos. Assim, as pro.priedades do quadrado são herdadas do retângulo:

• Propriedade 1:  As diagonais se interceptam em seus respectivos pontos médios. No quadrado ABCD, o ponto E é a interseção de AC e BD e é ponto médio das diagonais. Assim, AE=EC e BE=ED.
• Propriedade 2: As diagonais são perpendiculares. No quadrado ABCD, \( A\hat{E}D=D\hat{E}C=C\hat{E}B=B\hat{E}A=90°\).

Como calcular a diagonal do quadrado?

Considere um quadrado ABCD de lado l. Note que ABC é um triângulo retângulo isósceles \(\left(AB=BC=l\right)\), cuja hipotenusa AC é uma diagonal do quadrado ABCD. Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos que:

\(\left(AC\right)^2=\left(AB\right)^2+\left(BC\right)^2\)

\(\left(AC\right)^2=l^2+l^2\)

\(\left(AC\right)^2={2l}^2\)

\(\left(AC\right)=l\sqrt2\)

Assim, para calcular a medida da diagonal d de um quadrado de lado l, basta aplicar a fórmula:

\(d=l\sqrt2\)

• Exemplo:

Qual a diagonal de um quadrado com 4 cm de lado?

Resolução:

Utilizando a fórmula, temos que:

\(d=l\sqrt2\)

\(d=4\sqrt2 cm\)

Como calcular o perímetro do quadrado?

O perímetro de um polígono é igual à soma de seus lados. Considere um quadrado ABCD de lado l. Assim, como ABCD tem quatro lados, o perímetro P é:

\(P=l+l+l+l\)

\(P=4l\)

• Exemplo:

Qual o perímetro de um terreno quadrado com 8 metros de lado?

Resolução:

Utilizando a fórmula, temos que:

\(P=4l\)

\(P=4\cdot8\ \mathrm{m}\)

\(P=32\ \mathrm{m}\)

Como calcular a área do quadrado?

A área de um quadrado é igual ao produto entre dois lados adjacentes. Considere um quadrado ABCD de lado l. Como os lados do quadrado são congruentes, a área A é

\(A=l\times l\)

\(A=l^2\)

• Exemplo:

Qual a área de uma janela quadrada de lado 1,20 m?

Resolução:

Utilizando a fórmula, temos que:

\(A=l^2\)

\(A=\left(1,20\right)^2\ m\)

\(A=1,44\ \{m²\)

Veja também: Quais são as relações métricas no quadrado inscrito?

Exercícios resolvidos sobre quadrado

Questão 1

(Enem) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S, que pode ser coberta pelas N placas.

Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada.

A quantidade X de placas do novo modelo, em cada nova caixa, será igual a:

A) \( \frac{N}{9}\)

B) \( \frac{N}{6}\)

C) \( \frac{N}{3}\)

D) \(3N\)

E) \(9N\)

Resolução:

Alternativa A

Vamos relacionar, para antes e depois, a quantidade de placas utilizadas e a respectiva área.

• Antes:

Como o lado da placa quadrada mede y, a área de uma placa é \(A=y\cdot y\ =y^2\). Assim, a área S de N unidades é dada por \(S=N\cdot y^2\).

• Depois:

Como o lado da placa quadrada mede 3y, a área da placa é \(A=3y\cdot3y=9y^2\). Assim, a área S de X unidade é dada por \(S=X\cdot9y^2\).

Portanto, como a área S não foi alterada:

\(N\cdot y^2=X\cdot9y^2\)

\(X=\frac{N}{9}\)

Questão 2

(Fundatec) A área e a medida da diagonal de um quadrado são numericamente iguais. A medida do lado desse quadrado é:

A) \(2\)

B) \( \sqrt3\)

C) \( \sqrt2\)

D) \( \sqrt5\)

E) \( 3\)

Resolução:

Alternativa C

Seja l o lado procurado. Assim:

\(A=d\)

\(l^2=l\sqrt2\)

\(l=\sqrt2\)

Fontes

LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.

REZENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.