Raiz quadrada aproximada

A raiz quadrada aproximada é utilizada quando precisamos calcular a raiz quadrada de um número que não possui raiz exata. Quando isso ocorre, é necessário utilizar uma aproximação, porque a raiz quadrada nesse caso forma uma dízima não periódica. Para descobrir uma aproximação da raiz quadrada, primeiramente encontramos entre quais números naturais a raiz quadrada se situa. Posteriormente, podemos analisar o valor da casa decimal, encontrando o valor que mais se aproxima da raiz quadrada desejada.

Leia também: Raiz cúbica — o caso de radiciação em que o 3 é o índice do radical

Videoaula sobre raiz quadrada aproximada

Raiz quadrada aproximada x Raiz quadrada exata

Existem dois casos possíveis para a raiz quadrada de um número natural: o resultado pode ser uma raiz quadrada exata ou não. Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos. Veja alguns deles a seguir:

• \( \sqrt0=0\)

• \( \sqrt1=1\)

• \( \sqrt4=2\)

• \( \sqrt9=3\)

• \( \sqrt{16}=4\)

• \( \sqrt{25}=5\)

• \( \sqrt{36}=6\)

• \( \sqrt{49}=7\)

• \( \sqrt{64}=8\)

• \( \sqrt{81}=9\)

• \( \sqrt{100}=10\)

• \( \sqrt{121}=11\)

• \( \sqrt{144}=12\)

• \( \sqrt{169}=13\)

• \( \sqrt{196}=14\)

• \(\sqrt{225}=15\)

Quando o número natural não é um quadrado perfeito, a raiz quadrada desse número é uma dízima não periódica, como a raiz de 3 a seguir:

\(\sqrt3=1.73205080756887729362772\ldots\)

Quando a raiz quadrada não é um número exato, é possível encontrar uma aproximação para o valor da raiz.

Como calcular a raiz quadrada aproximada?

Quando a raiz quadrada não é exata, podemos calcular a raiz quadrada aproximada. Para isso, é necessário, inicialmente, encontrar entre quais quadrados perfeitos esse número se situa. Posteriormente, encontramos o intervalo em que a raiz quadrada desse número está. Por fim, determinamos a casa decimal por tentativa.

• Exemplo 1:

Calcularemos o valor da \(\sqrt{20}\), por aproximação.

Resolução:

De início, encontraremos entre quais quadrados perfeitos o número 20 está:

16 < 20 < 25

Posteriormente, encontraremos entre quais valores está a raiz quadrada de 20:

\(\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}\)

\(4<\sqrt{20}<5\)

Sabemos que \(\sqrt{20} \) está entre 4 e 5, logo a parte inteira é 4, que é o menor dentre os valores.

Encontraremos a primeira casa decimal calculando o quadrado dos valores que estão entre 4,1 e 4,9 e descobrindo entre quais desses números a \(\sqrt{20}\) está. Para isso, calcularemos o quadrado de cada um deles até encontrar um número maior que 20:

4,1² = 16,81
4,2² = 17,64
4,3² = 18,49
4,4² = 19,36
4,5² = 20,25

Note que \(\sqrt{20}\) está entre 4,4 e 4,5.

Caso o objetivo seja encontrar uma aproximação com uma casa decimal, dizemos que:

\(\sqrt{20}=4,4\) por falta

\(\sqrt{20}=4,5 \) por excesso.

Podemos também encontrar a próxima casa decimal, agora que encontramos um novo intervalo para \(\sqrt{20}\):

\(4,4<\sqrt{20}<4,5\)

Testando os valores com duas casas decimais, temos que:

4,41² = 19,4481
4,42² = 19,5364
4,43² = 19,6249
4,44² = 19,7136
4,45² = 19,8025
4,46² = 19,8916
4,47² = 19,9809
4,48² = 20,0704

Agora, reduzimos mais ainda o intervalo, pois sabemos que a \(\sqrt{20}\) está entre 4,47 e 4,48.

\(\sqrt{20}\) = 4,47 por falta.

\(\sqrt{20}\) = 4,48 por excesso.

Podemos repetir esse procedimento para quantas casas decimais quisermos.

• Exemplo 2:

Calcule \(\sqrt2\).

Resolução:

1 < 2 < 4

Temos que:

\(\sqrt1<\sqrt2<\sqrt4\)

\(1<\sqrt2<2\)

Sabemos que \(\sqrt2\) é um número entre 1,1 e 1,9:

1,1² = 1,21
1,2² = 1,44
1,3² = 1,69
1,4² = 1,96
1,5² = 2,25

Portanto, \(\sqrt2\) está entre 1,4 e 1,5.

\(\sqrt2\) = 1,4 por falta.

\(\sqrt2\) = 1,5 por excesso.

Calculando a segunda casa decimal:

1,41² = 1,9881
1,42² = 2,0164

\(\sqrt2\) = 1,41 por falta.

\(\sqrt2\) = 1,42 por excesso.

Saiba também: O que é uma função raiz?

Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada aproximada

Questão 1

Calculando o valor aproximado de \(\sqrt{60}\) com duas casas decimais por falta, encontramos:

A) 7,71

B) 7,72

C) 7,73

D) 7,74

E) 7,75

Resolução:

Alternativa D

O número 60 está entre os quadrados perfeitos 49 e 64:

\(49<60<64\)

\(\sqrt{49}<\sqrt{60}<\sqrt{64}\)

\(7<\sqrt{60}<8\)

Testando os números entre 7,1 e 7,9:

7,1² = 50,41
7,2² = 51,84
7,3² = 53,29
7,4² = 54,76
7,5² = 56,25
7,6² = 57,76
7,7² = 59,29
7,8² = 60,84

Então, temos que \(7,7<\sqrt{60}<7,8:\):

7,71² = 59,4441
7,72² = 59,5984
7,73² = 59,7529
7,74² = 59,9076
7,75² = 60,0625

A aproximação por falta é, portanto, 7,74.

Questão 2

O número 3,87 é a aproximação por falta de:

A) \(\sqrt{14}\)

B) \(\sqrt{15}\)

C) \(\sqrt{15}\)

D) \(\sqrt{17}\)

Resolução:

Alternativa B

Calculando o quadrado de 3,87:

3,87² = 14,9769

O número decimal 3,87 é a melhor aproximação por falta para \(\sqrt{15}\).