Relações no triângulo retângulo

A trigonometria, desde o início dos seus estudos, é embasada no triângulo retângulo, por isso é importante estudar tanto as suas características, como os seus elementos e as suas relações.

O que é um triângulo retângulo?

É uma figura geométrica plana, composta por três lados e três ângulos internos. O que diferencia esse triângulo dos demais é que um dos seus ângulos inteiros é sempre igual a 90° (ângulo reto).



Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes específicos:
O lado que for oposto ao ângulo reto será chamado de hipotenusa e os outros dois lados serão chamados de cateto.




Elementos do triângulo retângulo

Dado o triângulo retângulo ABC, reto em A, com hipotenusa igual a a e catetos iguais a b e c:



Se nesse mesmo triângulo retângulo traçarmos uma reta (h) que parte do vértice A e que seja perpendicular ao lado a no ponto H, essa reta será a altura do meu triângulo retângulo e irá dividir o lado a em dois lados m e n.



Formamos mais dois triângulos retângulos: ABH e AHC.

Relações métricas do triângulo retângulo:
Observando o triângulo retângulo acima, podemos retirar algumas relações feitas com os seus elementos.
1º) c² = m . a e b² = n . a

2º) b . c = a . h

3º) h² = m . n

4º) a quarta relação é baseada na 1º e na 2º, pois se somarmos as duas chegaremos em uma outra relação.

c² + b² = m . a + n . a → colocando a em evidência.

c² + b² = a (m + n) → observando no triângulo retângulo percebemos que a medida de a = m + n.

c² + b² = a . a

c² + b² = a² → conhecida como Teorema de Pitágoras.

5º) é uma relação dos ângulos internos do triângulo retângulo. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo retângulo é igual a 180º, no caso do triângulo retângulo que um dos ângulos sempre terá medida igual a 90º os outros dois serão complementares, ou seja, a sua soma será 90º. Matematicamente dizemos que:

med ( ) + med ( ) = 90º.