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Representação de subconjuntos por intervalos

As representações de subconjuntos por intervalos podem ser feitas por seus extremos, ou seja, assume-se que seus pontos (números) pertençam ao intervalo.

Representação de subconjuntos por intervalos
Intervalos podem ser representados por seus extremos numérica ou geometricamente

Os conjuntos numéricos podem ser representados de diversas maneiras, e uma das mais importantes para a matemática é a representação por intervalos. Ela é capaz de mostrar em que ponto um conjunto começa e termina, ou seja, seu menor e maior elemento. Essa representação também pode indicar os números que não pertencem a esse conjunto, caso eles existam. Toda essa representação dos conjuntos numéricos é feita por símbolos.

Geralmente, a representação por intervalos é usada para demonstrar subconjuntos dos números reais, entretanto, ela também é igualmente útil quando envolve qualquer outro conjunto numérico.

Por exemplo: O subconjunto S dos números reais maiores que 5 e menores ou iguais a 10 é representado da seguinte maneira:

S = {x ε N/5 < x ≤ 10}

Sua representação por intervalos pode assumir ainda uma das duas formas a seguir:

S = (5,10]

ou

S = ]5,10]

As regras para usar essa representação são:

Regras da representação por intervalos

1 – Os símbolos ( ) indicam que os extremos daquele conjunto não estão incluídos nele;

2 – Os símbolos [ ] indicam que os extremos daquele conjunto estão incluídos nele;

3 – Os símbolos ][, virados para fora, indicam que os extremos daquele conjunto não estão incluídos nele.

Os símbolos que aparecem nas regras acima podem ser combinados de acordo com a necessidade e o gosto daquele que representa o conjunto.

1º Exemplo: O conjunto dos números reais entre – 7 e 4,2, inclusive os extremos.

S = [– 7; 4,2]

2º Exemplo: O conjunto dos números reais maiores que – 10 e menores que 60.

S = (– 10, 60)

3º Exemplo: – O conjunto dos números reais maiores ou iguais a – 2,45 e menores ou iguais a 3/8.

S = [– 2,45; 3/8]

4º Exemplo: – O conjunto dos números reais menores ou iguais a 7 e maiores que – 1/2.

S = ] – 1/2; 7]

Representação geométrica

É possível representar esses intervalos (subconjuntos) por meio da geometria. Para isso, basta se lembrar das retas numéricas: elas são o resultado de uma relação de cada ponto de uma reta com um número real. Assim, existe uma ordem entre os números, na qual, ao percorrer a reta para uma direção, os números reais sempre serão maiores e, na direção oposta, os números reais sempre serão menores.

Para usar essa representação, as regras são as seguintes:

1 – Identificar os extremos do subconjunto na reta;

2 – Marcá-los com bola aberta se pertencem ao conjunto ou com bola fechada se não pertencem;

3 – Sinalizar o interior desse intervalo pintando a parte da reta correspondente a ele.

Da mesma forma, podemos combinar bola aberta e fechada quando um dos extremos pertence ao conjunto e o outro não. Também existe a possibilidade do subconjunto ser definido de modo que alguns números no seu interior não pertençam a ele. Nesse caso, é só encontrar o ponto que representa esse número na reta numérica e sinalizá-lo com bola aberta. Caso o subconjunto possua um ponto além de suas extremidades, basta marcar esse ponto com bola fechada.

Para melhor compreensão dessas regras e de suas variações, observe os exemplos a seguir.

1º Exemplo: Intervalo [0, 5]

Exemplo de intervalo 1

Perceba que os números 0 e 5 pertencem ao intervalo, por isso foram marcados com uma bola fechada.

2º Exemplo: Intervalo [–5, – 2[ ou [–5, –2).

Exemplo de intervalo 2

Observe que números que não pertencem ao intervalo são representados com uma bola aberta.

3º Exemplo: Nesse exemplo, observe que é possível excluir pontos dentro do intervalo e adicionar pontos fora dele.

Exemplo de intervalo 3

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