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Soma e Produto das Raízes de uma Equação do 2º grau

Ao resolvermos uma equação do 2º grau temos as seguintes possibilidades para o resultado:

∆ > 0, duas raízes reais e distintas.
∆ = 0, uma única raiz real e distinta.
∆ < 0, nenhuma raiz real.


Nos casos em que equação possui raízes reais algumas relações são observadas. Veja:

Soma das raízes – (x1 + x2)
Produto das raízes – (x1 * x2)

As raízes de uma equação do 2º grau são determinadas a partir das seguintes expressões:


Com base nessas informações vamos determinar as expressões matemáticas responsáveis pela soma e produto das raízes.

Soma




Produto





Com a utilização dessas expressões podemos determinar as raízes de uma equação do 2º grau sem aplicar a resolução de Bháskara, respeitando a formação dessa equação com base na soma e no produto das raízes: x² – Sx + P = 0.

Observe:

A equação x² + 9x + 14 = 0 possui as seguintes raízes de acordo com as expressões da soma e do produto:

Soma




Produto



Com base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma seja -9 e o produto 14. Observe:

7 e 2
S = 7 + 2 = 9
P = 7 * 2 = 14

–7 e 2
S = –7 + 2 = – 5
P = –7 * 2 = – 14

7 e –2
S = 7 + (–2) = 5
P = 7 * (–2) = –14

–7 e –2
S = –7 + (–2) = –9
P = –7 * (–2) = 14


Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números –2 e –7.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

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91 comentários

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  • sábado | 03/10/2015 | André...
    Usuário

    Gostei muito da maneira como se explicou o assunto.

  • segunda-feira | 14/09/2015 | Joao
    Usuário

    Gostaria de tira essa dúvida da questão da minha prova a soma e 5 e o produto e 10

  • quarta-feira | 23/09/2015 | rayssa santos
    0 3

    vamos supor que : ax²-bx+c vc monta conta e substitue os valores S(soma) vc coloca -b/a que é equivalente a -5/a (1) e substitue aonde fica o Bx p(produto) e no produto vc coloca C/A e substitue aonde fica o C então vamos dizer que 10/a(1) vc vai começar as substituições e vai chegar ao resultado que talvez possa ser x+5/1+10/1=0 ou então vc vai substituind de outra forma S=5 S= -b/a =-5 = -b/a > -5 = b/1> -5=b e B=5 e o produto equivalente P=10 P=c/a>10= C/a > c=10 R= ax²+bx+c=0 > x²+5+10=0 ta ai a resposta

  • quarta-feira | 19/08/2015 | carlos
    Usuário

    Gostei da pagina,,,,, me ajudou muito