Whatsapp icon Whatsapp

Teoria dos conjuntos

A teoria dos conjuntos é a base para o estudo da álgebra. Por meio dela, estudamos as propriedades, as características e as operações envolvendo os conjuntos.
Diagrama de Venn
Podemos representar os conjuntos utilizando o diagrama de Venn

A teoria dos conjuntos é estudada na álgebra, que é uma área da Matemática. Um conjunto é um agrupamento de elementos que possuem uma determinada característica em comum, como o conjunto de vogais, conjunto de números, conjunto de pessoas, entre outros.

Existem algumas relações importantes na teoria dos conjuntos, como pertinência, inclusão, entre outras, e podemos realizar operações entre eles, como união, intersecção e diferença. Vale dizer ainda que um conjunto pode ser representado por meio do chamado diagrama de Venn, fundamental para o estudo das operações entre os conjuntos.

Leia também: Conjuntos e seus elementos — relações e representações

Resumo sobre a teoria dos conjuntos

  • A teoria dos conjuntos é a área da Matemática que estuda as características e propriedades dos conjuntos.

  • Um conjunto é formado por elementos que possuem uma mesma característica.

  • Quando o elemento está em um conjunto, dizemos que ele pertence ao conjunto. Caso contrário, dizemos que ele não pertence ao conjunto.

  • Quando todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto B, dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B.

  • Conhecemos como subconjunto de A um conjunto que está contido no conjunto A.

  • Existem alguns casos particulares de conjunto:

    • Conjunto vazio: não possui elementos.

    • Conjunto unitário: possui um único elemento.

    • Conjunto universo: contém todos os outros conjuntos.

    • Conjunto complementar: o complementar de um conjunto A é composto por todos os elementos do universo que não pertencem ao conjunto A.

  • Podemos realizar operações entre conjuntos. São elas a união, a intersecção e a diferença.

Notação e representação dos conjuntos

A representação de um conjunto é feita utilizando uma letra maiúscula do nosso alfabeto, e os elementos do conjunto estão sempre entre chaves e separados por vírgula.  Por exemplo, o conjunto A formado pelas vogais do alfabeto é o conjunto A = {a, e, i, o, u}. O conjunto M é o conjunto dos números múltiplos de 5: M = {0, 5, 10, 15, 20, 25...}

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Diagrama de Venn

O diagrama de Venn é uma outra forma de representar os conjuntos. Ele é muito utilizado para resolver problemas envolvendo operações entre conjuntos, pois facilita a visualização dos elementos.

Veja a seguir a representação dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7, 8} no diagrama de Venn.

Representação do conjunto A e do conjunto B no diagrama de Venn.

Relação de pertinência

Um conjunto é composto por elementos. Quando o elemento está no conjunto, dizemos que esse elemento pertence ao conjunto. O símbolo para representar isso é \(\in\) (lê-se: pertence). Quando um elemento não está no conjunto, dizemos que esse elemento não pertence ao conjunto. A não pertinência é representada por \(\notin\).

Exemplos:

  • a \(\in\) ao conjunto das vogais {a, e, i, o, u}.

  • 2 \(\in\) ao conjunto dos números pares.

  • a \(\notin\) ao conjunto das consoantes {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}.

  • 2 \(\notin\) ao conjunto dos números ímpares.

Relação de continência

Quando fazemos a comparação de dois conjuntos, notamos uma relação importante chamada de continência. Dizemos que um conjunto A está contido no conjunto B quando todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto B. Podemos dizer também que o conjunto B contém o conjunto A. Para expressar essa relação, utilizamos os símbolos a seguir:

⊃ — contém
⊂ — está contido
⊅ — não contém
⊄ — não está contido

Exemplo:

Dados os conjuntos A = {0, 5, 10} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, podemos dizer que:

B ⊃ A (B contém A) ou também que A ⊂ B (A está contido em B).

Subconjuntos

Chamamos de subconjunto de um conjunto B o conjunto A que está contido no conjunto B. Em um determinado conjunto, podemos ter vários subconjuntos.

Exemplo: 

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Alguns subconjuntos de B são:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

C = {2, 4, 6, 8, 10}

D = {10}

Leia também: Subconjuntos e relação de inclusão

Casos particulares de conjuntos

  • Conjunto vazio

Um conjunto é conhecido como vazio quando ele não possui nenhum elemento. Ele pode ser representado por { } ou pelo símbolo \(\emptyset\)  — ambos possuem o mesmo significado. O conjunto vazio está contido em todo e qualquer conjunto.

  • Conjunto unitário

Conhecemos como conjunto unitário aquele que possui somente um único elemento pertencente a ele — por exemplo, os conjuntos A = {0}, B ={1} e C = {2}.

  • Conjunto universo

O conjunto universo é definido como o conjunto formado por todos os elementos que devem ser considerados para uma determinada situação. Todo elemento pertence ao conjunto universo e todo conjunto está contido nele.

Operações entre os conjuntos

Existem três importantes operações entre os conjuntos: a união, a intersecção e a diferença entre conjuntos. Veja a seguir cada uma delas.

  • União de conjuntos

Conhecemos como união de dois (ou mais) conjuntos o conjunto formado por todos os elementos de ambos. Para representar a união de dois conjuntos, utilizamos a notação A \(\cup\)  B (lê-se: A união com B).

Exemplo:  

Seja A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, a união entre ambos será: A \(\cup\)  B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10}

Veja a seguir a representação da união no diagrama de Venn:

Representação da união de dois conjuntos no diagrama de Venn
A união de dois conjuntos é formada por todos os elementos de ambos.
  • Intersecção de conjuntos

A intersecção de dois (ou mais) conjuntos é formada pelos elementos que pertencem a ambos ao mesmo tempo. A intersecção é representada por A \(\cap\) B (lê-se: A intersecção com B).

Exemplo:

Seja A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos que: A \(\cap\) B = {2, 4, 6}.

Veja a seguir a representação da intersecção de dois conjuntos no diagrama:

Representação da intersecção de dois conjuntos no diagrama de Venn
Representação da intersecção de dois conjuntos no diagrama de Venn
  • Diferença entre conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é representada por A – B. Calcular essa diferença é encontrar os elementos que pertencem exclusivamente ao conjunto A, ou seja, pertencem ao A e não pertencem ao B.

Exemplo:

Seja A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, a diferença entre os conjuntos A e B é igual a:

A – B = {8, 10}

    • Conjunto complementar

O conjunto complementar é um caso especial de diferença entre dois conjuntos. Dado um universo U, o conjunto complementar de A é denotado por Ac é igual a U – A, ou seja, o conjunto de elementos que estão no universo, mas não pertencem ao conjunto A.

Exemplo:

Seja U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, e dado o conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10}, o conjunto complementar de A, ou seja, AC é igual a U – A = {1, 3, 5, 7, 9}.

Confira na nossa videoaula: Operações entre conjuntos

Exercícios resolvidos sobre teoria dos conjuntos

Questão 1

(Unesc 2022) Analisando o diagrama lógico dado abaixo, podemos afirmar que o conjunto que representa o elemento X, que faz parte da operação lógica (A ^ B), é o:

Diagrama lógico com conjuntos A e B

A) A ∈  B

B)  A ⊂ B

C) A  B

D) A ⊃ B

E) A  B

Resolução:

Alternativa E

Essa região é a intersecção dos dois conjuntos, e a intersecção é representada por A B (A intersecção com B).

Questão 2

(Fafipa 2014) Considere os conjuntos A = {3, 6, 11, 13, 21} e B = {2, 3, 4, 6, 9, 11, 13, 19, 21, 23, 26}. Sobre os conjuntos A e B, podemos afirmar que:

A) A ⊂ B

B) 9 ∉ B

C) 17 ∈  A

D) A ⊃ B

Resolução:

Alternativa A

Analisando os conjuntos, é possível perceber que todos os elementos do conjunto A pertencem ao conjunto B. Quando isso acontece, dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B, então temos que A ⊂ B.

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira

Artigos Relacionados

Conjunto e seus elementos
Conjunto, Relação entre conjunto, Conjunto e elemento, Elemento, Elemento de um conjunto, Igualdade de conjunto, Relação de inclusão, Relação de pertinência, Contém, Pertence.
Diagramas de Venn
Aprenda o que é o diagrama de Venn. Saiba como representar conjuntos e realizar operações utilizando esse instrumento.
Noções importantes
Noções importantes, Conjuntos, Representação de conjuntos, Conjuntos, Diagrama, Conjunto de números pares, Designação de seus elementos, Propriedades dos elementos, Elementos.
Números
Entenda o que são números e veja uma breve história sobre sua criação. Conheça também cada um dos conjuntos numéricos existentes.
O que são conjuntos numéricos?
Descubra o que são conjuntos numéricos e saiba quais são os elementos dos conjuntos dos naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.
Operações com conjuntos
Clique aqui, conheça cada uma das operações entre conjuntos, e aprenda a realizar o cálculo de cada uma delas.
Subconjuntos e relação de inclusão
Aprenda o que é um subconjunto e relação de inclusão entre conjuntos e entenda o modo correto de usar os símbolos dessa teoria.
Tipos de conjunto
Confira aqui as características dos diferentes tipos de conjunto: conjunto finito, conjunto infinito, conjunto unitário, conjunto vazio e conjunto universo.
video icon
Escrito"A representação indígena na literatura brasileira" próximo à imagem de um índigena com cocar virado de costas.
Português
A representação indígena na literatura brasileira
A figura do indígena sempre esteve presente na literatura brasileira. Mas de que forma essa cultura foi representada? Quais são as implicações dessas imagens na construção do imaginário e da identidade cultural do povo brasileiro?

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.