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Cálculos envolvendo meia-vida

Os cálculos que envolvem meia-vida são utilizados para a determinação de massa, porcentagem, número de átomos inicial e final e idade de uma amostra radioativa.

Cálculos envolvendo meia-vida
Fórmula utilizada em cálculos que envolvem meia-vida

Os cálculos que envolvem meia-vida são muito utilizados em diversas áreas do conhecimento científico, como Arqueologia, Farmácia, Medicina etc. Esses cálculos destacam-se na determinação de algumas medidas relacionadas a um material radioativo, como as seguintes:

  • Tempo de decaimento de um material radioativo;
  • Porcentagem do material radioativo restante após um tempo de decaimento;
  • Tempo da meia-vida do material radioativo;
  • Idade de um material radioativo.

Por envolver raciocínio matemático, podemos utilizar as fórmulas a seguir para a realização dos cálculos envolvendo a meia-vida:

  • 1ª Fórmula:

t = P.x

Nessa fórmula, (t) é o tempo de desintegração do material radioativo, (P) é a meia-vida e (x) é o número decorrido de meias-vidas pelo material.

  • 2ª Fórmula:

m = mo 
      2x

Na fórmula acima, (m) é a massa restante, (mo) é a massa inicial e (x) é número decorrido de meias-vidas.

Obs.: Com essa fórmula, podemos ainda obter a porcentagem do material radioativo e o número de partículas. Para isso, em vez da massa, é só utilizar a fórmula para encontrar essas outras medidas.

Cálculo envolvendo meia-vida e massa restante do material radioativo

Nesse tipo de cálculo, três dados são importantes:

  • Meia-vida;
  • Massa inicial;
  • Tempo decorrido.

Exemplo: (PUC-Camp-SP) O iodo-125, variedade radioativa do iodo com aplicações medicinais, tem meia-vida de 60 dias. Quantos gramas de iodo-125 restarão após seis meses a partir de uma amostra contendo 2,00 g do radioisótopo?

a) 1,50

b) 0,75

c) 0,66

d) 0,25

e) 0,10

  • Meia-vida (P) = 60 dias
  • Tempo decorrido (t) = 6 meses ou 180 dias (multiplicando 6 por 30 dias)
  • Massa inicial (mo) = 2 g
  • Massa restante (m) = ?

Para realizar esse cálculo, basta realizar os seguintes passos:

⇒ 1o Passo: Calcular o número de meias-vidas.

Utilizar o valor da meia-vida e o tempo decorrido na expressão a seguir:

t = P.x

180 = 60.x

x = 180
      60

x = 3

⇒ 2o Passo: Calcular a massa restante.

Utilizar a massa inicial e o número de meias-vidas na seguinte fórmula:

m = mo 
      2x

m =
       23

m =
     8

m = 0,25 g

Cálculo da determinação da meia-vida a partir da massa

Nesse tipo de cálculo, são importantes três dados:

  • Massa final;
  • Massa inicial;
  • Tempo decorrido.

Exemplo: (Unip) Um isótopo de iodo radioativo é muito usado para diagnóstico de doenças de glândula tireoide. A partir de 1 g desse isótopo, após 24 dias, sobra 1/8 g dele. Qual é a meia-vida desse isótopo?

a) 24 dias

b) 8 dias

c) 12 dias

d) 16 dias

e) 4 dias

  • Meia-vida (P) = ?
  • Tempo decorrido (t) = 24 dias
  • Massa inicial (mo) = 1 g
  • Massa restante (m) = 1/8 g ou 0,125 g

Para realizar esse cálculo, basta realizar os seguintes passos:

⇒ 1o Passo: Calcular o número de meias-vidas.

Utilizar a massa inicial e o número de meias-vidas:

m = mo 
      2x

0,125 =
           2x

2x =    1    
      0,125

2x = 8

Após realizar a potenciação do número oito para que ele tenha a mesma base dois existente do lado esquerdo da igualdade, temos que:

2x = 23

x = 3

⇒ 2o Passo: Calcular a meia-vida.

Utilizar o valor do número de meias-vidas e o tempo decorrido na expressão a seguir:

t = P.x

24 = P.3

P = 24
      3

x = 8 dias

Cálculos envolvendo meia-vida e porcentagem residual

Nesse tipo de cálculo, são importantes dois dados:

  • Tempo decorrido;
  • Meia-vida.

Obs.: Como é utilizada a porcentagem, a porcentagem inicial de uma amostra radioativa é sempre igual a 100 %.

Exemplo: (UFPI) Um elemento radioativo tem um isótopo cuja meia-vida é 250 anos. Qual a porcentagem da amostra inicial desse isótopo que existirá após 1000 anos?

a) 1,25%

b) 4%

c) 6,25%

d) 12,5%

e) 25%

  • Meia-vida (P) = 250 anos
  • Tempo decorrido (t) = 1000 anos
  • Porcentagem restante = ?

Para realizar esse cálculo, basta realizar os seguintes passos:

⇒ 1o Passo: Calcular o número de meias-vidas.

Utilizar o tempo decorrido e a meia-vida:

t = P.x

1000 = 250.x

x = 1000
      250

x = 4

⇒ 2o Passo: Calcular a porcentagem restante.

Utilizar a massa inicial e o número de meias-vidas:

p = po 
     2x

p = 100 
    24

p = 100 
    16

p = 6,25 %

Cálculo envolvendo meia-vida e idade de um material

Exemplo: (UFPI) A análise de uma amostra de um meteorito indicou que ele contém três átomos de chumbo 82Pb206 para cada átomo de 92U238. Considerando que nenhum 82Pb206 estaria presente na formação do meteorito e que ele é formado pelo decaimento radioativo do 92U238, cuja meia-vida é 4,5 . 109 anos, indique a alternativa correta para a idade do meteorito:

a) 4,5 . 109 anos

b) 9,0 . 109 anos

c) 13,5 . 109 anos

d) 18,0 . 109 anos

e) 22,3 . 109 anos

  • Meia-vida (P) = 4,5 . 109 anos
  • Átomos iniciais = 4
  • Átomo final = 1

Para realizar esse cálculo, basta realizar os seguintes passos:

⇒ 1º Passo: Interpretar o enunciado.

O enunciado do exercício informa que há três átomos de chumbo (Pb) para cada átomo de Urânio (U). Assim, se em quatro átomos, ou seja, 100% (um inteiro), apenas um é de urânio, há, portanto, 25% (1 para 4) desse elemento.

⇒ 2º Passo: Calcular o número de meias-vidas.

Utilizar a definição de meia-vida, que é o período em que uma amostra perde metade da sua radiação. Assim, se temos 100% de uma amostra, após uma meia-vida, restarão 50% dela. Após mais uma meia-vida, haverá 25% dela. Em outras palavras, passaram-se duas meias-vidas no decaimento da amostra de 100% para 25%.

⇒ 3º Passo: Determinação da idade do meteorito.

Como o decaimento envolveu a passagem de duas meias-vidas, basta multiplicar esse número pela meia-vida fornecida:

Idade = 2 . 4,5 . 109 anos

Idade = 9. 109 anos

Cálculo envolvendo meia-vida e gráficos

Nesse tipo de situação, os cálculos envolvendo a meia-vida serão realizados a partir de informações retiradas do gráfico e do texto do exercício. Lembre-se de que a meia-vida sempre é determinada de forma simples, com a análise no gráfico, uma vez que se trata do tempo necessário para a redução de 50% (da massa, da fração, etc.) do material radioativo.

Exemplo: (Unicamp-SP) O césio 137 é um isótopo radioativo produzido artificialmente. O gráfico a seguir indica a porcentagem desse isótopo em função do tempo.

Gráfico

a) Qual a meia-vida desse isótopo?

b) Decorridos 80 anos da produção do isótopo, qual a sua radioatividade residual?

Resoluções:

a) Para determinar a meia-vida do césio, basta marcar um ponto entre 60 e 40 no eixo y (onde fica a porcentagem) do gráfico, ir até a curva e, em seguida, descer em direção ao eixo x (onde fica o tempo).

Determinação da meia-vida no gráfico

Ao realizar esse procedimento, obtemos que a meia-vida do césio é de aproximadamente 30 anos.

b) A resolução da letra b segue o mesmo padrão descrito na letra a, porém, como há o tempo determinado (80 anos), inciamos a partir do 80 no eixo x, seguimos em direção à curva e, por fim, tracejamos até o eixo y.

Porcentagem após 80 anos

Ao realizar esse procedimento, obtemos que a porcentagem restante do césio é de aproximadamente 15%.

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