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Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é obtida a partir do Teorema da Conservação de Energia Mecânica e da relação entre o trabalho mecânico e a energia dos corpos.

A equação de Bernoulli é utilizada para descrever o comportamento dos fluidos em movimento no interior de um tubo. Ela recebe esse nome em homenagem a Daniel Bernoulli, matemático suíço que a publicou em 1738.

Para compreender como a equação de Bernoulli foi obtida, observe a figura:

Representação do escoamento de um fluido em uma tubulação
Representação do escoamento de um fluido em uma tubulação

Consideramos para essa figura um fluido ideal que apresenta as seguintes características:

  • Escoamento linear – velocidade constante em qualquer ponto do fluído;

  • Incompressível – com densidade constante;

  • Sem viscosidade;

  • Escoamento irrotacional.

Nesse caso, os fatores que interferem no escoamento do fluido são a diferença de pressão nas extremidades do tubo, a área de seção transversal e a altura.

Como o líquido está em movimento a uma determinada altura, ele possui energia potencial gravitacional e energia cinética. Dessa forma, a energia de cada porção de fluido é dada pelas equações:

E1 = mgh1 + m v12 e E2 = mgh2 + m v22
                 2                                    2

Como os volumes e a densidade das duas porções do fluido são iguais, podemos substituir a massa m na expressão acima por:

m = ρ.V

As equações acima podem ser reescritas da seguinte forma:

E1 = ρ.V (gh1 + 1v12 ) e E2 = ρ.V(gh2 + 1v22 )
                     2                                         2

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A variação de energia pode ser associada ao trabalho realizado pelo fluido durante o deslocamento entre as duas posições, como afirma o Teorema do Trabalho da Energia Cinética. Assim, podemos obter a equação:

E2 – E1 = F1.S1 – F2.S2

A força pode ser obtida pela expressão:

F = P.A

Dessa forma, a equação acima pode ser reescrita como:

ρ.V(gh2 + 1v22 ) - ρ.V (gh1 + 1v12 ) = (P1 – P2) . V
2                           2            

Agrupando os fatores que apresentam o subíndice 1 do lado esquerdo da igualdade e os que têm o subíndice 2, podemos rearranjar a expressão acima e obter a equação de Bernoulli:

ρ.V.g.h1 + ρ.V. v12 + P1.V = ρ.V.g.h2 + ρ.V. v22 + P2.V
          2                                          2

Essa equação também pode ser rescrita da seguinte forma:

ρ.V.g.h + ρ.V. v2 + P.V = Constante
2        

A equação de Bernoulli é a principal equação dos estudos da Mecânica dos fluidos e explica, por exemplo, como os aviões mantêm-se no ar. A pressão exercida pelo ar que passa pelas asas do avião é menor do que a pressão em sua parte inferior. Essa diferença de pressão cria uma força de baixo para cima, sustentando o avião no ar.

Entre as aplicações da equação de Bernoulli, está a explicação para o voo dos aviões
Entre as aplicações da equação de Bernoulli, está a explicação para o voo dos aviões
Publicado por: Mariane Mendes Teixeira

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