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Ângulo entre dois vetores

O ângulo entre dois vetores é calculado por meio de uma expressão que relaciona o produto interno com o comprimento de cada um desses vetores.

Vetores são segmentos de reta orientados responsáveis por representar a trajetória, em linha reta, do movimento realizado por um ponto. Ao considerar dois vetores, é possível calcular o ângulo entre eles por meio de conhecimentos provenientes da Geometria Analítica. Para tanto, é necessário conhecer algumas operações que podem ser realizadas entre vetores e que fundamentam o cálculo do ângulo entre eles.

Por serem segmentos de reta orientados, os vetores são representados por flechas, que nada mais são do que segmentos de reta cuja direção e sentido de seu início e fim ficam bem definidos. Desse modo, a ponta da flecha aponta para o ponto final do movimento, enquanto a outra extremidade mostra seu ponto inicial.

Flecha utilizada para representar vetores
Flecha utilizada para representar vetores

O ponto inicial de um vetor geralmente é a origem O = (0,0), e o ponto final geralmente é utilizado para representá-lo. Portanto, um vetor v = (x,y) tem seu ponto inicial na origem e ponto final no par ordenado (x,y).

Essa configuração permite que o cálculo do comprimento de um vetor seja reduzido ao cálculo da distância do ponto final desse vetor até a origem. O comprimento do vetor v é chamado de norma de v ou módulo de v, é denotado por |v| e é definido de modo semelhante ao módulo de um número real.

Fórmula utilizada para calcular a norma do vetor v = (x,y)
Fórmula utilizada para calcular a norma do vetor v = (x,y)

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Outra definição importante acerca dos vetores é a de produto interno. De certa forma, produto interno é um número real que relaciona o ângulo entre dois vetores com o seu comprimento. Contudo, é possível mostrar que o produto interno entre os vetores v = (x1,y1) e u = (x2,y2), denotado por , é dado pela expressão:

Seja φ o ângulo entre os vetores u e v. O número real, resultante de , relaciona o ângulo φ com os comprimentos de u e v da seguinte maneira:

Portanto, o produto interno entre dois vetores, além de poder ser calculado pela soma entre os produtos de suas coordenadas, também pode ser calculado por meio do produto do cosseno do ângulo entre esses dois vetores com seus comprimentos.

Ângulo entre dois vetores

De posse das definições descritas acima, é possível calcular o ângulo entre dois vetores genéricos v = (x1,y1) e u = (x2,y2) utilizando a fórmula para produto interno = cos φ·|v|·|u|. Para tanto, sendo 0 < φ < π e os vetores u e v não nulos, temos:

Os cálculos a serem realizados utilizando esse método são:

Após isso, para encontrar o valor do ângulo φ, basta calcular arccosφ, o que pode ser feito em uma calculadora científica.

Representação geométrica do ângulo entre dois vetores
Representação geométrica do ângulo entre dois vetores
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva

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