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Área da diferença entre duas figuras

A área da diferença entre duas figuras é obtida pela decomposição de suas áreas que fazem parte de uma figura geométrica.

Figura geométrica formada pela diferença entre as áreas de outras figuras
Figura geométrica formada pela diferença entre as áreas de outras figuras

O cálculo de algumas áreas pode depender da decomposição de uma figura geométrica. Para isso, muitas vezes, devemos calcular as áreas de figuras distintas e somar os resultados. Outras vezes, devemos calcular as áreas de figuras distintas e subtrair os resultados.

Para esse último caso, mostraremos exemplos de como calcular uma área e, sem seguida, demonstraremos como usar uma fórmula que pode substituir todo o processo de cálculo.

Áreas obtidas pela diferença entre duas figuras

Para obter a área da diferença entre duas figuras, basta calcular a área de duas figuras e subtrair as áreas encontradas. Geralmente, as figuras cujas áreas devem ser subtraídas encontram-se uma no interior da outra, e a área pedida é referente à parte interna da figura maior e externa da figura menor.

1º Exemplo: bandeira do Brasil

Encontre a área da parte verde da bandeira do Brasil, sabendo que ela é formada por um retângulo de dois metros de largura por 1,4 metros de comprimento e que as diagonais do losango amarelo medem 1,66 metros e 1,06 metros.

Dimensões da bandeira do Brasil

Solução:

Observe que a área verde fica no interior de um retângulo, mas a parte amarela, também no interior do retângulo, não deve ser considerada. Sendo assim, devemos subtrair a área da figura amarela da área da figura verde.

A área do retângulo é obtida por:

A1 = b·h

A1 = 2·1,4

A1 = 2,8 m2

A área do losango é obtida por:

A2 = D·d

A2 = 1,66·1,06

A2 = 1,76 m2 aproximadamente

Assim, a área da parte verde da figura pode ser obtida da seguinte forma:

A1 – A2

2,8 – 1,76

1,04 m2

Esse cálculo é de suma importância para determinar, por exemplo, a quantidade de tecido verde que deve ser comprado para a confecção de uma bandeira, pois impede que seja adquirido mais tecido que o necessário.

2º Exemplo: coroa circular

Duas circunferências concêntricas de raios distintos formam uma coroa circular, que é a figura presente na imagem abaixo:

Coroa circular

Para encontrar a área da parte verde da figura, também é exigida uma subtração, uma vez que essa parte da figura é interior ao círculo maior e externa ao círculo menor. É como se precisássemos tirar um círculo de dentro do círculo verde para obter a coroa circular. Ao fazer isso, devemos subtrair sua área.

A área do círculo maior, portanto, é:

A1 = π·r2

A1 = 3,14·202

A1 = 3,14·400

A1 = 1256 cm2

A área do círculo menor é:

A2 = π·r2

A2 = 3,14·152

A2 = 3,14·225

A2 = 706,5 cm2

A área da parte verde da figura é obtida pela diferença entre as áreas dos dois círculos:

A1 – A2

1256 – 706,5

549,5 cm2

3º Exemplo

(Unifesp-SP) Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas.

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Exemplo 3

Nessas condições, calcule a área da região colorida.

Solução:

Observe que a parte colorida da figura é igual a diferença entre a área do hexágono e a área de seis setores circulares no interior do hexágono. Veja, na figura a seguir, essa mesma diferença sem a interferência da área externa das circunferências, que não entram nos cálculos:

Hexágono exemplo 3

Note também que o raio de todas as circunferências presentes na imagem é igual a 1, pois representam metade do lado do hexágono.

Em primeiro lugar, devemos determinar a área do hexágono. Para isso, precisamos dividi-lo em seis triângulos equiláteros, da seguinte maneira:

Triângulos equiláteros

Toda vez que um polígono regular é dividido dessa maneira, os triângulos gerados são equiláteros e congruentes. Portanto, a área do hexágono é igual a seis vezes a área de um desses triângulos.

Como são equiláteros, para calcular a área de um desses triângulos, podemos usar a área do triângulo equilátero, conseguida pela fórmula a seguir:

A1 = l2√3
       4

A1 = 22√3
       4

A1 = 43
       4

A1 = √3

Sabendo que a área do hexágono é igual a seis vezes a área de um triângulo equilátero, temos:

Ah = 6√3

Agora, para determinar a área do setor circular, devemos determinar seu ângulo. Lembrando que, primeiramente, encontramos a área de um setor circular e, depois, multiplicamos o resultado por seis, uma vez que essas áreas são todas iguais, assim como o que foi feito com o triângulo equilátero.

A soma dos ângulos internos do hexágono é:

S = (n – 2)180°

S = (6 – 2)180°

S = (4)180°

S = 720°

Como o hexágono é regular, todos os seus ângulos internos são congruentes, dessa forma, cada um deles mede:

Si = 120°

Observe que esse também é o ângulo do setor circular, pois o vértice de cada ângulo interno do hexágono também é o centro da circunferência. Dessa maneira, determinamos a área da circunferência (AC) e, por regra de três, a área do setor circular (ASC).

AC = π·r2

Como foi dito, o raio de qualquer circunferência nesse exercício é 1, portanto:

AC = 3,14·12

AC = 3,14·1

AC = 3,14

Logo, a área do setor circular é:

3,14 = 360°
ASC     120°

360 ASC = 376,8

ASC = 376,8
          360

ASC = 1,05, aproximadamente.

Agora, devemos multiplicar a área desse setor circular por seis, pois são seis setores presentes na figura:

A2 = 6·1,05 = 6,3

Para finalizar, devemos subtrair a área dos seis setores circulares da área do hexágono:

Ah – A2

6√3 – 6,3

4,09, aproximadamente.

Portanto, a área da parte colorida da imagem é igual a aproximadamente 4,09.

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