Cilindro

Cilindro é um sólido geométrico pertencente aos corpos redondos. Intuitivamente, podemos identificar um objeto cilíndrico pelo formato circular das extremidades (chamadas de bases) e corpo curvo. Latas de refrigerante, velas de parafina e pilhas são exemplos de itens cilíndricos.

Formalmente, é possível definir o cilindro de algumas maneiras. Uma delas consiste em visualizar o cilindro como uma união de segmentos de reta. Considere dois planos paralelos (nomeados α e β), uma circunferência c com raio r contida no plano α e uma reta s transversal aos planos (ou seja, que “corta” ambos).

Assim, os segmentos de reta paralelos a s com extremidade sobre ou interior à circunferência c formam um cilindro. Observe que entre esses segmentos, os que possuem uma extremidade sobre a circunferência c formam uma circunferência d no plano β com a outra extremidade.

Veja também: Cone — outro sólido geométrico classificado como corpo redondo

Resumo sobre cilindro

• O cilindro é um sólido geométrico formado por duas bases circulares paralelas e pelos segmentos de reta com extremidades em cada uma das bases.
• As bases, a altura e a geratriz são elementos do cilindro.
• O cilindro pode ser classificado em reto ou oblíquo.
• As fórmulas das áreas do cilindro são: \(A_{base}=\pi r^2, A_{lateral}=2\pi r·h e A_{total}=2·A_{base}+A_{lateral}\) , em que r é o raio da base e h é a altura.
• A fórmula do volume do cilindro é \(V_{cilindro}=A_{base}·h=πr2·h\).
• A planificação do cilindro é formada pelos círculos das bases e pelo retângulo da superfície lateral.
• O cilindro possui dois tipos de secção: a transversal e a meridiana.

Quais são os elementos do cilindro?

• Bases: as bases do cilindro são os dois círculos presentes na superfície do cilindro, um na parte superior e outro na parte inferior.
• Altura: a altura do cilindro é a distância entre os planos que contêm suas bases.
• Geratriz: geratriz do cilindro é a medida de um segmento com extremidades nas circunferências das bases e paralelo ao eixo central (que liga os centros das bases).

Classificação dos cilindros

• Cilindro reto (ou cilindro de revolução): se a geratriz de um cilindro é perpendicular aos planos das bases, o cilindro é classificado como reto ou de revolução, pois resulta da revolução de um retângulo. No cilindro reto, a altura e a geratriz possuem a mesma medida.

• Cilindro oblíquo: se a geratriz de um cilindro não é perpendicular aos planos das bases, o cilindro é classificado como oblíquo. Nesse caso, a altura e a geratriz têm medidas diferentes.

Fórmuls do cilindro

Conhecendo os elementos de um cilindro, podemos encontrar as medidas de sua área e volume. Para isso, é conveniente utilizar algumas fórmulas. Vejamos como obter cada expressão.

→ Áreas do cilindro

O cilindro possui duas regiões circulares nas bases e uma região lateral, que, no caso do cilindro reto, pode ser interpretada como um “retângulo enrolado”. Assim, os cálculos das áreas do cilindro estão relacionados com essas figuras.

○ Área da base

Como a base de um cilindro é um círculo, podemos calcular sua área pela fórmula da área do círculo:

\(A_{base}=\pi r^2\)

• r → raio do círculo (raio da base).

Exemplo:

Calcule a área da base de um cilindro com raio medindo 3 cm e altura medindo 6 cm.

Resolução:

Utilizando a fórmula:

\(A_{base}=\pi·32=9π cm2\)

○ Área lateral

A lateral de um cilindro pode ser visualizada como um “retângulo enrolado”, cujos lados correspondem à altura do cilindro (com medida h) e ao comprimento das circunferências que formam as bases do cilindro (com medida 2πr). Assim, a área lateral de um cilindro é calculada pela fórmula da área do retângulo:

\(A_{lateral}=2\pi r·h\)

• h → altura do cilindro.
• r → raio do círculo (raio da base).

Importante: a fórmula também vale para a área lateral do cilindro oblíquo, mas é necessário atenção, pois nesse tipo de cilindro, a medida da altura h é diferente da medida da geratriz.

Exemplo:

Calcule a área lateral de um cilindro com raio medindo 3 cm e altura medindo 6 cm.

Resolução:

Utilizando a fórmula:

\(A_{lateral}=2\pi·3·6=36π cm2\)

○ Área total

A área total de um cilindro é a soma entre as áreas das duas bases e a área lateral:

\(A_{total}=2·Abase+Alateral\)

Exemplo:

Calcule a área total de um cilindro com raio medindo 3 cm e altura medindo 6 cm.

Resolução:

Utilizando a fórmula:

\(A_{total}=2·Abase+Alateral\)

\(A_{total}=2·(π·32)+(2π·3·6)\)

\(A_{total}=54\pi\ cm^2\)

→ Volume do cilindro

O volume do cilindro é dado pelo produto entre a área da base e a altura:

\(V_{cilindro}=A_{base}·h=πr2·h \) 

Exemplo:

Determine o volume de um cilindro com raio da base medindo 5 metros e altura medindo 10 metros.

Resolução:

Utilizando a fórmula:

\(V_{cilindro}=A_{base}·h=π·52·10=250π cm2\)

Planificação do cilindro

A planificação do cilindro é composta pelos dois círculos que formam suas bases e pelo retângulo que compõe sua superfície lateral. Perceba que a planificação é como “desenrolar” o cilindro.

Secções do cilindro

→ Secção transversal

A secção transversal de um cilindro é a intersecção entre esse sólido e um plano paralelo às bases. Perceba que a secção transversal de um cilindro é um círculo congruente às bases:

→ Secção meridiana

A secção meridiana de um cilindro é a intersecção entre esse sólido e um plano que contém a reta formada pelos centros das bases. Observe que a secção meridiana de um cilindro reto é um retângulo e a de um cilindro oblíquo é um paralelogramo:

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Exercícios resolvidos sobre cilindro

Questão 1

(Enem) Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura desconhecida e raio de 3 cm, respectivamente, conforme a figura. Sabe-se que a medida do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata que possui raio menor, V2.

A medida da altura desconhecida vale

A) 8 cm.

B) 10 cm.

C) 16 cm.

D) 20 cm.

E) 40 cm.

Resolução:

Alternativa B

Utilizando a fórmula do volume do cilindro, podemos determinar V1 e V2:

\(V1=\pi·6^2·4=144π \)

\(V2=\pi·3^2·x=9π·x\)

Segundo o enunciado, \(V1=1,6·V2\) . Assim,

\(144\pi=1,6·(9π·x)\)

\(x=10\)

Questão 2

(Enem) Um artesão fabrica vários tipos de potes cilíndricos. Mostrou a um cliente um pote de raio de base a e altura b. Esse cliente, por sua vez, quer comprar um pote com o dobro do volume do pote apresentado. O artesão diz que possui potes com as seguintes dimensões:

Pote I: raio a e altura 2b

Pote II: raio 2a e altura b

Pote III: raio 2a e altura 2b

Pote IV: raio 4a e altura b

Pote V: raio 4a e altura 2b

O pote que satisfaz a condição imposta pelo cliente é o

A) I.

B) II.

C) III.

D) IV.

E) V.

Resolução:

Alternativa A

O dobro do volume de um cilindro com raio da base a e altura b é expresso por

\(\ V=2\ (\pi a²·b)=2·πa²·b=πa²·2b\)

Ou seja, o pote que satisfaz a condição imposta pelo cliente deve possuir raio a e altura 2b.