Cônicas

Cônicas são as figuras geométricas planas que podem ser encontradas na intersecção de um plano com um cone, obtido pela revolução de uma reta.

As cônicas são figuras geométricas formadas pela interseção de um plano com um cone duplo de revolução. São elas: elipses, parábolas e hipérboles. Um sólido de revolução é obtido a partir da rotação de uma figura geométrica sobre um eixo de rotação. O cone de revolução é resultado do giro de um triângulo retângulo, tendo um de seus catetos como eixo, como mostra a figura a seguir:
 

Após um giro de 360°, o “rastro” deixado por esse triângulo terá a forma de cone, exatamente como mostra a figura a seguir:

Para encontrar as cônicas, entretanto, precisamos de cone duplo de revolução, que é obtido pelo giro de uma reta sobre um círculo. Na imagem a seguir, o eixo de revolução dessa reta é o segmento AB.

A figura obtida nesse processo é o cone duplo de revolução:

Cônicas: elipse

Uma elipse é uma figura geométrica plana definida da seguinte maneira: dados dois pontos F1 e F2, chamados de focos, que pertencem a um único plano β, e o comprimento do segmento F1F2 = 2c. O conjunto de todos os pontos P, cuja soma da distância entre P e F1 com a distância entre P e F2 é igual a uma constante 2a, é chamado de elipse. (2a < 2c).

Em outras palavras, se P pertence a uma elipse, então dPF1 + dPF2 = 2a.

A imagem a seguir mostra um exemplo de elipse:

As elipses possuem duas equações reduzidas. A primeira, para o caso em que os pontos F1 e F2 estão sobre o eixo x de um plano cartesiano, é:

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x2 + y2 = 1
a2 b2       

Na segunda, para os casos em que os pontos F1 e F2 estão sobre o eixo y de um plano cartesiano, temos:

y2 + x2 = 1
a2 b2       

Cônicas: hipérbole

Uma hipérbole é um conjunto de pontos que pode ser definido da seguinte maneira: dados dois pontos F1 e F2 (chamados de focos) do plano β, sendo 2c a distância entre esses pontos, a hipérbole é o conjunto de pontos P do plano β no qual a diferença entre PF1 e PF2 é sempre a igual a uma constante 2a. Essa diferença, porém, somente é avaliada em módulo.

Dessa forma, P é um ponto da hipérbole se dPF1 – dPF2 = 2a.

Veja a seguir um exemplo de hipérbole:

A hipérbole também possui dois tipos de equação reduzida. Para os casos em que F1 e F2 estão sobre o eixo x, temos:

x2 – y2 = 1
a2 b2        

Nos casos em que F1 e F2 estão sobre o eixo y, podemos usar a seguinte equação:

y2 – x2 = 1
a2 b2       

Cônicas: parábola

Dada uma reta r e um ponto F que não pertence a essa reta, mas ambos pertencentes ao mesmo plano, e sendo k a distância entre esse ponto e essa reta, uma parábola é um conjunto de pontos no qual a distância até F é igual à distância até r.

Portanto, P pertence à parábola se, e somente se, d(P, F) = d(P, r).

A parábola também possui equações reduzidas. Se a parábola apresenta foco F no eixo x, é usada a seguinte equação:

y2 = 2kx

No caso de a parábola possuir foco F no eixo y, temos:

x2 = 2ky

Cônicas: intersecções entre um plano e um cone
Cônicas: intersecções entre um plano e um cone
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva

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