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Demonstração das fórmulas das coordenadas do vértice

A demonstração das fórmulas das coordenadas do vértice de uma parábola depende das raízes da função do segundo grau.

Demonstração das fórmulas das coordenadas do vértice
O vértice é o ponto mais alto de uma parábola com concavidade voltada para baixo

Toda parábola pode ser usada como representação geométrica de alguma função na forma f(x) = ax2 + bx + c, que é chamada de função do segundo grau. Toda função do segundo grau pode possuir a concavidade voltada para cima, e consequentemente um ponto de mínimo, ou a concavidade voltada para baixo, e consequentemente um ponto de máximo. Esse ponto de mínimo (ou de máximo) é chamado de vértice da parábola.

Seja V o vértice de uma parábola e (xv, yv) suas coordenadas, as fórmulas usadas para encontrar essas coordenadas são:

Para demonstrar essas fórmulas, é necessário conhecer uma outra técnica que também pode ser usada pra encontrar as coordenadas do vértice.

Coordenadas do vértice

Observe os pontos em destaque, vértice e raízes, na figura a seguir.

Perceba que a coordenada x do vértice (xv) fica no ponto médio do segmento entre as raízes da parábola, portanto, para encontrar a coordenada xv, podemos calcular a média aritmética entre as raízes da função:

Note também que a imagem da função aplicada no ponto xv é justamente yv, ou seja, f(xv) = yv.

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Tendo essas informações como base, podemos realizar alguns cálculos simples para encontrar as fórmulas usadas para calcular xv e yv.

Demonstrações das fórmulas

Dada a função f(x) = ax2 + bx + c, podemos usar a fórmula de Bháskara para determinar as fórmulas de xv e yv. Sabendo que as raízes de uma função do segundo grau podem ser encontradas da seguinte maneira:

Logo,

Lembre-se de que:

Podemos, então, substituir os valores de x1 e x2 para encontrar:

Que é justamente a fórmula usada para determinar xv.

A fórmula usada para determinar yv pode ser obtida ao encontrar a imagem da função no ponto xv:

Substituindo o valor de xv, temos:

Para finalizar, basta fazer o procedimento adequado de adição (e subtração) de frações. Esse procedimento depende do mínimo múltiplo comum.

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