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Demonstração da lei dos senos

A demonstração da lei dos senos é feita com base em trigonometria básica e envolve a construção de uma das alturas de um triângulo qualquer.

Demonstração da lei dos senos
A lei dos senos pode ser aplicada a um triângulo qualquer, como o representado na imagem

A trigonometria básica relaciona as medidas de lados de triângulos retângulos às medidas de seus ângulos, por meio das razões seno, cosseno e tangente. Quando o triângulo não é retângulo, existem outros dois teoremas que possibilitam relacionar as medidas de seus lados e ângulos. São eles: a lei dos senos e a lei dos cossenos.

Por meio desses teoremas, é possível descobrir a medida de um dos lados de um triângulo conhecendo as medidas de outros de seus lados e ângulos. A seguir, veremos a lei dos senos e a sua demonstração.

Lei dos senos

Dado um triângulo ABC ilustrado na figura a seguir:

A lei dos senos é a seguinte proporção:

     a     =      b     =     c      
Senα      Senβ        Senθ

Como se trata de uma proporção, deveremos usar apenas uma das igualdades, que é escolhida de acordo com os lados e ângulos disponíveis no triângulo. Para descobrir a medida de um dos lados do triângulo utilizando a lei dos senos, será necessário conhecer as medidas do outro lado e do ângulo oposto a ele, como também do ângulo oposto ao lado cuja medida será descoberta.

Note que o ângulo α é oposto ao lado a, e ambos estão na mesma fração. O mesmo é válido para todos os outros ângulos e lados.

Demonstração da lei dos senos

Para demonstrar essa propriedade, observe a construção da altura desse triângulo, relativa à base AC.

A medida da base AC é igual a b. Observe que a altura BD corta o lado AC em duas partes não necessariamente iguais. Entretanto, uma altura sempre forma um ângulo de 90° com a base do triângulo. Sendo assim, temos dois triângulos retângulos na figura: o triângulo ABD e o triângulo BCD.

Calculando o seno do ângulo α, relativo ao triângulo ABD, teremos:

Senα = BD
             c

Assim, o lado BD mede:

Senα·c = BD

Calculando o seno do ângulo θ, relativo ao triângulo BCD, teremos:

Senθ = BD
             a

Assim, o lado BD também mede:

senθ·a = BD

Como tanto senθ·a como Senα·c são iguais a BD, podemos escrever:

senθ·a = Senα·c

    a     =     c     
Senα       senθ

Fazendo a construção da altura relativa a outro lado desse mesmo triângulo e realizando os cálculos análogos aos que foram apresentados, é possível encontrar a última fração usada na lei dos senos.

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