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Distância entre dois pontos no espaço

A distância entre dois pontos no espaço é o comprimento do menor segmento de reta que liga esses dois pontos e é obtida pelo Teorema de Pitágoras.

Distância entre dois pontos no espaço
Distância entre dois pontos em um mapa

O cálculo da distância entre dois pontos no espaço é um assunto discutido na Geometria Analítica e tem suas bases no teorema de Pitágoras. Utilizando esse teorema, é possível chegar à fórmula usada para calcular o comprimento do segmento de reta que liga dois pontos.

Para calcular a distância entre dois pontos no espaço, é necessário calcular antes a distância entre dois pontos no plano. Adiante demonstraremos como esses cálculos são feitos para obter a fórmula em questão.

Fórmula da distância entre dois pontos no espaço

Existe uma fórmula para calcular a distância entre dois pontos no espaço, dada por meio de suas coordenadas. Assim sendo, sejam os pontos A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB), a distância entre A e B, denotada por dAB, é dada pela seguinte expressão:

Para calcular a distância entre dois pontos, basta substituir os valores numéricos das coordenadas dos pontos em questão na fórmula acima.

Exemplo

Calcule a distância entre os pontos A = (4, -8, -9) e B = (2, -3, -5).

Obtendo a distância entre dois pontos no espaço

Na imagem a seguir há três eixos coordenados que representam o que seria o equivalente ao plano cartesiano no espaço. Note que fixamos dois pontos nele:

Para calcular a distância entre esses dois pontos, é necessário calcular a distância entre os pontos no plano xy, formados pelas coordenadas (xA, yA) e (xB, yB), que serão denotados por A1 e B1, respectivamente.

Dessa forma, observe que os pontos A1 e B1 estão localizados como ilustrado na imagem a seguir e a distância entre eles é representada pelo segmento A1B1. Além disso, a imagem da direita contém um esquema de como essa estrutura é vista por cima, o que é chamado de projeção ortogonal sobre o plano xy.

Os catetos do triângulo à direita são a diferença entre as coordenadas de seus pontos, isto é, a base tem comprimento igual a xB – xA e a altura tem comprimento yB – yA. Desse modo, pelo teorema de Pitágoras, temos:

Para obter a distância entre dois pontos no plano, basta extrair a raiz quadrada de ambos os lados da equação acima. Contudo, nosso objetivo é obter a fórmula para a distância no espaço. Para tanto, observe que o segmento A1B1 possui o mesmo tamanho da base do triângulo ABC, ilustrado na figura abaixo.

Note também que a distância de B até C é justamente a diferença zB – zA, pois AC é paralelo a A1B1. Desse modo, pelo teorema de Pitágoras, teremos a distância entre A e B, denotada por dAB:

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