Divisão de polinômios

A divisão de polinômios é uma das operações básicas envolvendo polinômios. Quando calculamos a divisão entre dois polinômios, encontramos como resposta um novo polinômio. Existem diferentes métodos para essa divisão, os mais comuns são o método de chaves, o método de Descartes e o dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Leia também: Multiplicação de polinômios — como fazer?

Videoaula sobre divisão de polinômios

O que é divisão de polinômios?

A divisão de polinômios é uma das operações básicas envolvendo polinômios. A divisão entre polinômios pode ser exata, quando ela deixa resto igual a 0, ou não exata, quando o resto é diferente de 0. O quociente da divisão entre polinômios é também um polinômio. De modo geral, ao dividirmos um polinômio, temos que:

\(P(x)=D(x)⋅Q(x)+R(x)\)

• P(x) → dividendo

• D(x) → divisor

• Q(x) → quociente

• R(x) → resto da divisão

Para que a divisão seja possível, é necessário que o grau do polinômio P(x) seja maior que o grau do polinômio D(x). O resto da divisão será sempre um polinômio R(x), em que o seu grau é menor que o grau do polinômio D(x).

Como fazer divisão de polinômio por monômio?

Antes de conhecer os métodos da divisão entre dois polinômios, veremos como é feita a divisão de um polinômio por um monômio. Para dividir o polinômio por um monômio, dividiremos cada termo do polinômio por esse monômio.

Exemplo:

Realize a divisão do polinômio \((2x^3 y+4x^2-6x)\) pelo monômio \(2x\).

Resolução:

Faremos a divisão de cada termo:

2x³y : 2x = 1x²y = x²y
4x² : 2x = 2x
-6x : 2x = -3

Então temos que:

\((2x^3 y+4x^2-6x):2x=x^2 y+2x-3\)

Como fazer divisão de polinômios?

Para fazer a divisão entre dois polinômios, existem diferentes métodos, veja os três principais a seguir, que são: o método de chaves, o método de Descartes e o dispositivo de Briot-Ruffini.

→ Método de chaves

O método de chaves para dividir polinômios utiliza o método da divisão de polinômios. Ao dividir um polinômio P(x) pelo polinômio D(x), buscamos por um polinômio Q(x), tal que:

Logo, pelo algoritmo da divisão, temos que: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x)

• P(x) → dividendo

• D(x) → divisor

• Q(x) → quociente

• R(x) → resto da divisão

Ao realizar a divisão, o polinômio P(x) será divisível pelo polinômio D(x) se o resto for zero.

Exemplo:

Calcule a divisão de x³ +2x² + x – 1 por x² – 3.

Resolução:

Primeiro montaremos o algoritmo:

Agora dividiremos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor, para encontrarmos o primeiro termo do quociente.

x³ : x² = x

Então sabemos que x é o primeiro termo do quociente. Faremos a multiplicação de x pelo divisor e escreveremos o oposto do resultado na linha debaixo do dividendo, depois realizaremos a operação como na imagem a seguir:

Agora dividiremos novamente o primeiro termo do que restou do dividendo pelo divisor, então temos que:

2x² : x² = 2

Colocaremos +2 no quociente e repetiremos o processo:

Podemos perceber que o resto da divisão tem grau menor que o grau do divisor, sendo assim, não é mais possível dividir, logo, o resultado dessa divisão tem quociente Q(x) = x + 2 e resto R(x) = 4x + 5.

→ Método de Descartes

O método de Descartes, conhecido também como método dos coeficientes a determinar, é outra forma de se calcular a divisão entre dois polinômios. O método do Descartes é mais analítico e menos prático que os demais. Para sua realização, seguiremos estes passos:

• 1° passo: determinar o grau do polinômio Q(x), que é o quociente da divisão.

• 2° passo: utilizá-lo como grau máximo do resto, então o grau do resto será o grau do polinômio D(x) – 1.

• 3º passo: utilizar a equação P(x) = Q(x) ⋅ D(x) + R(x).

Exemplo:

Calcule a divisão de P(x) = x³ +2x² + x – 1 por D(x) = x² – 3.

Resolução:

Primeiro determinaremos o grau do polinômio Q(x), que é o grau de P(x) – D(x), logo, temos que:

Q(x) é de grau 1, e pode ser representado por Q(x) = ax + b.

Agora determinaremos o maior grau possível para o resto. Como o divisor tem grau 2, então o maior grau possível do resto é 1, logo, representaremos o resto pela equação R(x) = cx + d.

Assim:

\(P(x)=Q(x)⋅D(x)+R(x)\)

\(x^3+2x^2+x-1=(ax+b)⋅(x^2-3)+(cx+d)\)

\(x^3+2x^2+x-1=ax^3-3ax+bx^2-3b+cx+d\)

\(x^3+2x^2+x-1=ax^3+bx^2+(-3a+c)x+(d-3b)\)

Calculando o valor de a:

x³ = ax³ → a = 1

Calculando o valor de b:

2x² = bx² → b = 2

Calculando o valor de c:

1 = -3a + c
1 = -3 ⋅1 + c

1 = -3 + c

c = 4

Calculando o valor de d:

-1 = d – 3b

-1 = d – 3 ⋅ 2

-1 = d – 6

6 – 1 = d

d = 5

Temos:

Q(x) = x + 2
R(x) = 4x + 5

→ Dispositivo prático de Briot-Ruffini

O dispositivo prático de Briot-Ruffini é utilizado para dividir o polinômio por um binômio. Para isso, é necessário primeiro encontrar a raiz do divisor e escrever a raiz e os coeficientes do polinômio no algoritmo.

Exemplo:

Calcule a divisão do polinômio 2x² – x – 15 pelo polinômio x – 3.

Resolução:

Primeiro encontraremos a raiz do divisor igualando a 0:

x – 3 = 0
x = 3

Agora colocaremos o 3 e os coeficientes dos termos do dividendo (2, -1 e -15) no algoritmo.

Primeiro repetiremos o primeiro coeficiente do dividendo, no caso, o 2.

Agora multiplicaremos 2 por 3, e o resultado será somado com o próximo coeficiente, que, no caso, é -1, ou seja:

\(3⋅2+(-1)=6-1=5 \)

O resultado será colocado abaixo do -1:

Repetiremos o processo anterior, mas, agora, multiplicando 5 por 3 e somando com -15.

\(3⋅5+(-15)=15-15=0 \)

Agora que terminamos de usar dispositivo, temos que 2 e 5 são os coeficientes do quociente, e 0 é o resto da divisão. De modo geral, o resultado da divisão será um polinômio com um grau abaixo do dividendo, então, nesse caso, o quociente é o polinômio:

Q(x) = 2x + 5

E ao utilizamos o dispositivo, o último termo sempre será o resto da divisão, que, nesse caso, foi:

R(x) = 0

Como o resto foi igual a 0, encontramos uma divisão exata entre dois polinômios.

Saiba mais: Binômio de Newton — uma fórmula para calcular potências de um binômio

Exercícios resolvidos sobre divisão de polinômios

Questão 1

Sabendo que o polinômio x² + 2x + m é divisível pelo polinômio x + 4, então podemos afirmar que o valor de m será:

A) -5

B) -6

C) -7

D) -8

E) -9

Resolução:

Alternativa D

Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, temos que:

x + 4 = 0

x = - 4

Para que a divisão seja exata, temos que:

8 + m = 0

m = -8

Questão 2

Sobre a divisão entre polinômios, julgue as afirmativas a seguir:

I. A divisão de um polinômio de grau 1 por um de grau 2 é possível, e a solução é um polinômio de grau 1.

II. O resto da divisão de polinômios tem sempre grau igual ao do divisor.

III. Se o resto for zero, a divisão de polinômios é exata.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a I é verdadeira.

B) Somente a II é verdadeira.

C) Somente a III é verdadeira.

D) Todas são falsas.

Resolução:

Alternativa C

I. A divisão de um polinômio de grau 1 por um de grau 2 é possível, e a solução é um polinômio de grau 1. (Falso)

O grau do dividendo tem que ser maior que o grau do divisor para que a divisão seja possível.

II. O resto da divisão de polinômios tem sempre grau igual ao do divisor. (Falso)

O grau do resto tem que ser menor que o grau do divisor.

III. Se o resto for zero, a divisão de polinômios é exata. (Verdadeiro)