Equação equivalente

Princípio da igualdade

Para melhor visualizarmos uma igualdade, vamos observar a balança de dois pratos.




Na balança acima temos uma balança equilibrada (igual), pois a quantidade de cubos que tem em um prato é a mesma que tem em outro. Os cubos verdes e laranja têm massas iguais.

Agora, se pegarmos essa mesma balança e somarmos ou retirarmos cubos? O que irá acontecer?


       6 + 2          =         1 + 7

Para que a balança continue em equilíbrio o mesmo peso que colocarmos em um lado deveremos colocar do outro, então:

acrescentei 3 cubos laranjas em cada lado. 

6 + 2 + 3        =        1 + 7 + 3


Se retirarmos algum cubo, devemos retirar a mesma quantidade de cada lado para que a balança continue equilibrada.

Princípio aditivo da igualdade: adicionando ou subtraindo um mesmo número nos dois membros de uma igualdade obtém-se outra sentença que ainda é uma igualdade.


Observe a balança abaixo:


2 + 3               =          1 + 4

Se dobrarmos a quantidade de cubos em cada lado teremos:

2 . (2 + 3)      =        2 . (1 + 4)

Concluímos que 2 + 3 = 1 + 4  e 2 . (2 + 3) = 2 . (1 + 4) são duas igualdades.


Princípio multiplicativo da igualdade: Multiplicando ou dividindo por um mesmo número (diferente de zero) os dois membros de uma igualdade obtém-se uma nova sentença que ainda é uma igualdade.

Equações Equivalentes

Para obter duas equações equivalentes partiremos do mesmo princípio da igualdade.

Por exemplo, observe essas igualdades:

3X + 2 = X + 10 (equação 1)
Para que seja verdadeira essa igualdade o X nos dois lados irá assumir o mesmo valor:
X = 4 (equação 2)
Então:

3 . 4 + 2 = 4 + 10

12 + 2 = 4 + 10

14 = 14

2X = 8 (equação 3)

2 . 4 = 8

8 = 8

X = 4 (equação 4)

Nas equações 1, 2, 3, 4 o valor da incógnita (raiz da equação) é o mesmo, dizemos que elas são equivalentes entre si.

Para acharmos mais facilmente a raiz de uma equação transformamos a equação inicial em outras equações mais simples até chegar ao valor da incógnita.

Para transformar as equações em outras equivalentes utilizamos:
O princípio aditivo da equivalência de equações – conseqüência do princípio aditivo da igualdade.
O principio multiplicativo da equivalência de equações – conseqüência do princípio multiplicativo da igualdade