Equação logarítmica

Quando falamos de logaritmo, devemos nos lembrar de sua definição básica:

log _a b = x → a^x = b

E quando pensamos em equação logarítmica, devemos unir as ideias de logaritmo com as definições básicas de funções. Alguns tipos principais de equações destacam-se, são eles:

I. Logaritmo e um número real

Acabamos de rever a propriedade básica do logaritmo, em que log _a b = x → a^x = b, lembrando que há uma condição de existência, b > 0. Vamos então ver essa mesma ideia através da equação logarítmica:

log ₃ (x + 5) = 2
3² = x + 5
x + 5 = 3²
x + 5 = 9
x = 9 – 5
x = 4

Vamos substituir o valor encontrado para x a fim de verificar a condição de existência:

x + 5 > 0 → 4 + 5 > 0 → 9 > 0.

Como a condição de existência foi respeitada, concluímos que a solução da equação é x = 4.

Vejamos outro exemplo:

log _(3+x) (x² – x) = 1
(3 + x)¹ = x² – x
x² – x = 3 + x
x² – 2x – 3 = 0

Para resolvermos essa equação, vamos utilizar a Fórmula de Bhaskara:

Se fizermos x' = 1 + 2, teremos x' = 3. E se fizermos x'' = 1 – 2, teremos x'' = – 1.

Vamos agora substituir os valores encontrados para x a fim de verificar a condição de existência. Para x' = 3, temos:

x² – x = 3² – 3 = 9 – 3 = 6 > 0

Para x'' = --1,

x² – x = (-1)² – (– 1) = 1 + 1 = 2 > 0

Concluímos então que os resultados possíveis para essa equação são x = – 1 e x = 3.

II. Logaritmos de mesma base:

Se tivermos uma equação logarítmica do tipo log _a n = log _a m, já que a base é a mesma, para a igualdade ser verdadeira, é necessário que n = m. É importante ainda que n = m > 0, que é a nossa condição de existência. Vejamos um exemplo prático utilizando equação:

log ₂ (4x + 5) = log ₂ (2x + 11)

Nesse exemplo, a base 2 é a mesma em ambos os lados da equação, portanto, para a igualdade ser verdadeira, é necessário que 4x + 5 seja igual a 2x + 11, temos então:

4x + 5 = 2x + 11
4x – 2x = 11 – 5
2x = 6
x = ⁶/₂
x = 3

Vamos substituir o valor encontrado para x para verificarmos a condição de existência:

4x + 5 = 4 . 3 + 5 = 12 + 5 = 17 > 0

2x + 11 = 2 . 3 + 11 = 6 + 11 = 17 > 0

Vejamos um novo exemplo:

log _{(x + 2)} (x² + x) = log _{(x + 2)} 12

As bases dos logaritmos são iguais, então, para que a igualdade seja verdadeira, é necessário que x² – 2x = 3, temos então:

x² + x = 12
x² + x – 12 = 0

Vamos novamente utilizar a Fórmula de Bhaskara:

Substituindo esses valores na condição de existência, temos:

Para x' = 3,

x² + x = 3² + 3 = 9 + 3 = 12 > 0

Para x'' = – 4,

x² + x = (– 4)² + (– 4) = 16 – 4 = 12 > 0

Podemos ainda trabalhar com outros dois tipos de equações, aquelas em que precisamos aplicar as propriedades do logaritmo e outras em que é necessário realizar mudança de base e substituição por uma incógnita. Você pode ver mais detalhes sobre esses casos no texto “Equação Logarítmica II”.