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Função

Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro. O primeiro conjunto é chamado de domínio, e o segundo, contradomínio da função.

Publicado por: Naysa Crystine Nogueira Oliveira em Matemática
As formulações matemáticas que envolvem equações podem ser estruturadas por meio de funções
As formulações matemáticas que envolvem equações podem ser estruturadas por meio de funções

A função determina uma relação entre os elementos de dois conjuntos. Podemos defini-la utilizando uma lei de formação, em que, para cada valor de x, temos um valor de f(x). Chamamos x de domínio e f(x) ou y de imagem da função.

A formalização matemática para a definição de função é dada por: Seja X um conjunto com elementos de x e Y um conjunto dos elementos de y, temos que:

f: x → y

 

Assim sendo, cada elemento do conjunto x é levado a um único elemento do conjunto y. Essa ocorrência é determinada por uma lei de formação.

A partir dessa definição, é possível constatar que x é a variável independente e que y é a variável dependente. Isso porque, em toda função, para encontrar o valor de y, devemos ter inicialmente o valor de x.

Tipos de funções

As funções podem ser classificadas em três tipos, a saber:

  • Função injetora ou injetiva

Nessa função, cada elemento do domínio (x) associa-se a um único elemento da imagem f(x). Todavia, podem existir elementos do contradomínio que não são imagem. Quando isso acontece, dizemos que o contradomínio e imagem são diferentes. Veja um exemplo:

  • Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-1,5, +2, +8}

  • Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {A, C, D}

  • Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {A, B, C, D}

  • Função Sobrejetora ou sobrejetiva

    Na função sobrejetiva, todos os elementos do domínio possue um elemento na imagem. Pode acontecer de dois elementos do domínio possuírem a mesma imagem. Nesse caso, imagem e contradomínio possuem a mesma quantidade de elementos.

  • Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-10, 2, 8, 25}

  • Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C}

  • Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C}

  • Função bijetora ou bijetiva

    Essa função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, pois, cada elemento de x relaciona-se a um único elemento de f(x). Nessa função, não acontece de dois números distintos possuírem a mesma imagem, e o contradomínio e a imagem possuem a mesma quantidade de elementos.

  • Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-12, 0, 1, 5}
                                                                                             2

  • Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C, D}

  • Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C, D}

As funções podem ser representadas graficamente. Para que isso seja feito, utilizamos duas coordenadas, que são x e y. O plano desenhado é bidimensional. A coordenada x é chamada de abscissa e a y, de ordenada. Juntas em funções, elas formam leis de formação. Veja a imagem do gráfico do eixo x e y:

Do último ano do Fundamental e ao longo do Ensino Médio, geralmente estudamos doze funções, que são:

1 – Função constante;

2 – Função par;

3 – Função ímpar;

4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau;

5 – Função Linear;

6 – Função crescente;

7 – Função decrescente;

8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau;

9 – Função modular;

10 – Função exponencial;

11 – Função logarítmica;

12 – Funções trigonométricas;

13 – Função raiz.

Mostraremos agora o gráfico e a fórmula geral de cada uma das funções listadas acima:

1 - Função constante

Na função constante, todo valor do domínio (x) tem a mesma imagem (y).

Fórmula geral da função constante:

f(x) = c

x = Domínio

f(x) = Imagem

c = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais.

Exemplo de gráfico da função constante: f(x) = 2

2 – Função Par

A função par é simétrica em relação ao eixo vertical, ou seja, à ordenada y. Entenda simetria como sendo uma figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente.

Fórmula geral da função par:

f(x) = f(- x)

x = domínio

f(x) = imagem

- x = simétrico do domínio

Exemplo de gráfico da função par: f(x) = x2

3 – Função ímpar

A função ímpar é simétrica (figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente) em relação ao eixo horizontal, ou seja, à abscissa x.

Fórmula geral da função ímpar

f(– x) = – f(x)

x = domínio

f(x) = imagem

- f(x) = simétrico da imagem

Exemplo de gráfico da função ímpar: f(x) = 3x

4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau

Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos observar o maior grau da variável x (termo desconhecido), que sempre deve ser igual a 1. Nessa função, o gráfico é uma reta. Além disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b.

Fórmula geral da função afim ou polinomial do primeiro grau

f(x) = ax + b

x = domínio

f(x) = imagem

a = coeficiente

b = coeficiente

Exemplo de gráfico da função polinomial do primeiro grau: f(x) = 4x + 1

5 – Função Linear

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A função linear tem sua origem na função do primeiro grau (f(x) = ax + b). Trata-se de um caso particular, pois b sempre será igual a zero.

Fórmula geral da função linear

f(x) = ax

x = domínio

f(x) = imagem

a = coeficiente

Exemplo de gráfico da função linear: f(x) = -x/3

6 – Função crescente

A função polinomial do primeiro grau será crescente quando o coeficiente a for diferente de zero e maior que um (a > 1).

Fórmula geral da função crescente

f(x) = + ax + b

x = domínio

f(x) = imagem

a = coeficiente sempre positivo

b = coeficiente

Exemplo de gráfico da função crescente: f(x) = 5x

7 – Função decrescente

Na função decrescente, o coeficiente a da função do primeiro grau (f(x) = ax + b) é sempre negativo.

Fórmula geral da função decrescente

f(x) = - ax + b

x= domínio/ incógnita

f(x) = imagem

- a = coeficiente sempre negativo

b = coeficiente

Exemplo de gráfico da função decrescente: f(x) = - 5x

8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau

Identificamos que uma função é do segundo grau quando o maior expoente que acompanha a variável x (termo desconhecido) é 2. O gráfico da função polinomial do segundo grau sempre será uma parábola. A sua concavidade muda de acordo com o valor do coeficiente a. Sendo assim, se a é positivo, a concavidade é para cima e, se for negativo, é para baixo.

Fórmula geral da função quadrática ou polinomial do segundo grau

f(x) = ax2 + bx + c

x = domínio

f(x) = imagem

a = coeficiente que determina a concavidade da parábola.

b = coeficiente.

c = coeficiente.

Exemplo de gráfico da função polinomial do segundo grau: f(x) = x2 – 6x + 5

9 – Função modular

A função modular apresenta o módulo, que é considerado o valor absoluto de um número e é caracterizado por (| |). Como o módulo sempre é positivo, esse valor pode ser obtido tanto negativo quanto positivo. Exemplo: |x| = + x ou |x| = - x.

Fórmula geral da função modular

f(x) = x, se x≥ 0

ou

f(x) = – x, se x < 0

x = domínio

f(x) = imagem

- x = simétrico do domínio

Exemplo de gráfico da função modular: f(x) =

10 – Função exponencial

Uma função será considerada exponencial quando a variável x estiver no expoente em relação à base de um termo numérico ou algébrico. Caso esse termo seja maior que 1, o gráfico da função exponencial é crescente. Mas se o termo for um número entre 0 e 1, o gráfico da função exponencial é decrescente.

Fórmula geral da função exponencial

f(x) = ax

a > 1 ou 0 < a < 1

x = domínio

f(x) = imagem

a = Termo numérico ou algébrico

Exemplo de gráfico da função exponencial crescente: f(x) = (2)x, para a = 2

Exemplo de gráfico da função exponencial decrescente: f(x) = (1/2)x para a = ½

11 - Função logarítmica

Na função logarítmica, o domínio é o conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio é o conjunto dos elementos dependentes da função, sendo todos números reais.

Fórmula geral da função logarítmica

f(x) = loga x

a = base do logaritmo
f(x) = Imagem/ logaritmando
x = Domínio/ logaritmo

Exemplo de gráfico da função logarítmica: f(x) = log10 (5x - 6)

12 – Funções trigonométricas

As funções trigonométricas são consideradas funções angulares e são utilizadas para o estudo dos triângulos e em fenômenos periódicos. Podem ser caracterizadas como razão de coordenadas dos pontos de um círculo unitário. As funções consideradas elementares são:

- Seno: f(x) = sen x

- Cosseno: f(x) = cos x

- Tangente: f(x) = tg x

Exemplo de gráfico da função trigonométrica seno: f(x) = sen (x + 2)

Exemplo de gráfico da função trigonométrica cosseno: f(x) = cos (x + 2)

Exemplo de gráfico da função tangente: f(x) = tg (x + 2)

13 – Função raiz

O que determina o domínio da função raiz é o termo n que faz parte do expoente. Se n for ímpar, o domínio (x) será o conjunto dos números reais; se n for par, o domínio (x) será somente os números reais positivos. Isso porque, quando o índice é par, o radicando (termo que fica dentro da raiz) não pode ser negativo.

Fórmula geral da função raiz

f(x) = x 1/n 

f(x) = Imagem

x = domínio/ base

1/n = expoente

Exemplo de gráfico da função raiz: f(x) = (x)1/2

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