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Lei dos cossenos

A lei dos cossenos permite encontrar o valor da medida de um lado de um triângulo qualquer se a medida dos outros lados e o ângulo por eles formado forem conhecidos.

Algumas das propriedades trigonométricas que estudamos são válidas apenas para triângulos retângulos, mas existem propriedades que podem ser aplicadas em quaisquer triângulos, tais como a lei dos senos e a lei dos cossenos, sobre a qual falaremos mais detalhadamente.

A lei dos cossenos pode ser aplicada a qualquer triângulo. No triângulo acutângulo a seguir, vamos traçar sua altura (h), isto é, uma reta saindo do vértice A que forma um ângulo de 90° com o lado BC:


Ao traçar a altura de um triângulo acutângulo, transformamos esse triângulo em dois triângulos retângulos.

Para facilitar a análise desse triângulo, identificamos como b o lado oposto ao vértice B, c como o lado oposto ao vértice C, e como o lado oposto ao vértice A foi dividido em duas partes, chamamos o segmento BD como m e o segmento DC como a – m. Entre as propriedades trigonométricas conhecidas, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD:

c² = m² + h² → h² = c² – m²

Aplicando novamente o Teorema de Pitágoras, agora para o triângulo ADC, teremos:

b² = h² + (a – m)²

Substituindo nessa equação o valor encontrado anteriormente para , teremos:

b² = + (a – m)²

b² = c² – m² + (a – m)²

b² = c² – m² + a² – 2am + m²

b² = c² + a² – 2am

Mas a medida do comprimento do lado m pode ser dada através de:

cos  = mm = c . cos 

                                                            c 

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Substituindo o valor encontrado para m na fórmula anterior, teremos:

b² = c² + a² – 2am
b² = c² + a² – 2ac.cos 

Essa equação encontrada é o que chamamos de “Lei dos Cossenos”. Analogamente ao que foi feito, podemos escrever outras duas equações que compõem também a lei dos cossenos:

c² = a² + b² – 2ab.cos 
a² = b² + c² – 2bc.cos Â

Podemos então definir que, em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por esses lados. A lei dos cossenos pode ser também aplicada a triângulos retângulos e obtusângulos.

Vejamos a resolução de um exemplo:

Considere um triângulo que possui dois lados de medidas 10 e 12 cm. O encontro desses lados forma um ângulo de 60°. Qual é o valor da medida do terceiro lado do triângulo?

Para iniciar a resolução desse problema, vamos fazer um esboço do triângulo descrito:


Esboço do triângulo descrito no exemplo 1

Seja a = 12, b = x, c = 10  , = 60°, aplicando a lei dos cossenos, teremos:

b² = c² + a² – 2ac.cos 

x² = 10² + 12² – 2.12.10.cos 60°

x² = 100 + 144 – 240.½

x² = 244 – 120

x² = 124

x = √124

x = 2√31 cm

x ≈ 11,13 cm

Portanto, o terceiro lado do triângulo mede aproximadamente 11,13 cm.

Conheça a lei dos cossenos, uma propriedade trigonométrica que pode ser aplicada em qualquer triângulo
Conheça a lei dos cossenos, uma propriedade trigonométrica que pode ser aplicada em qualquer triângulo
Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
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