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Máximo divisor comum (MDC)

O máximo divisor comum (MDC) é o maior número inteiro que divide dois ou mais números ao mesmo tempo.

O máximo divisor comum é encontrado com base na decomposição simultânea em fatores primos.
O máximo divisor comum é encontrado com base na decomposição simultânea em fatores primos.

O máximo divisor comum (MDC) é a categoria que classifica os números que conseguem dividir dois ou mais números naturais ao mesmo tempo. Por exemplo, os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Já os divisores de 16 são: 1, 2, 4, 8 e 16. O máximo divisor comum, que é o maior divisor comum entre dois ou mais números, nesse caso, é o número 4.

  • Divisores

Divisores são todos os números que conseguem dividir outro número sobrando o número 0 na divisão. Por exemplo, se pensarmos no número 8, os números que conseguem dividi-lo são: 1, 2, 4 e 8, que são seus divisores:

1 = 8

2 = 4

4 = 8

8 = 1

Divisores comuns são aqueles comuns entre dois ou mais números. Por exemplo, os divisores de 6 são: 1, 2, 3 e 6. Se compararmos os divisores de 8 (do primeiro exemplo) com os divisores de 6, veremos que o número 2 é o divisor que consegue dividir 8 e 6, ou seja, é o divisor comum.

Outros exemplos de divisores:

D (12) = 1, 2, 3, 4, 6 e 12

D (18) = 1, 2, 3, 6, 9 e 18

D (36) = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36

Nesse caso, os divisores que são comuns entre 12, 18 e 36 são: 1, 2, 3 e 6, porém o maior deles é o 6, sendo ele, portanto, o MDC entre 12, 18 e 36.

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Encontrar o MDC é simples, porém, se pensarmos em números maiores, perderíamos muito tempo montando os divisores para depois fazer o comparativo e descobrir o maior deles. Pensando nisso, existem algumas propriedades para que esse processo seja facilitado. Vamos aprendê-las.

Propriedades do MDC

  • 1ª propriedade

Se a é divisor de b, então: MDC (a, b) = a.

Exemplos:

MDC (3, 12) = 3

MDC (24, 48) = 24

MDC (5, 25) = 5

  • 2ª propriedade

O máximo divisor comum entre números primos é sempre 1.

Exemplos:

MDC (5, 7) = 1

MDC (17, 19) = 1

MDC (11, 41) = 1

Veja também: Números primos

  • 3ª propriedade

Sendo a e b dois números inteiros, o resultado do MCD será a multiplicação desses números dividida pelo seu mínimo múltiplo comum (MMC). Exemplo:

MMC (12, 46) = 276

MDC (12, 46) = 12 x 46 = 552 = 2
                          276       276     

Veja também: Mínimo múltiplo comum (MMC)

Como calcular

O cálculo do MDC é feito pela decomposição simultânea em fatores primos, ou seja, vamos usar a fatoração, mas sem a necessidade de que os números sejam divididos até que o resultado seja 1. Para encontrar o MDC, os números só podem ser divididos ao mesmo tempo. Por exemplo:

Resolução: MDC (124, 86) = 2.

Nesse exemplo, depois de dividir 124 e 86 por 2, encontramos os valores 62 e 43, e não existe nenhum outro número que consiga dividir esse resultado simultaneamente (até porque 43 é primo), logo, o resultado é 2.

Próximo exemplo:

Resolução: MDC (18, 48, 54) = 6.

Nesse caso, os únicos números que dividem 18, 48 e 54 ao mesmo tempo é 2 e 3, e o MDC é a multiplicação desses números, totalizando 6.

Exercícios resolvidos

1) Determine o MDC dos seguintes números:

a) MDC (125, 225, 335) =

Resolução: MDC (125, 225, 335) = 25.

b) MDC (4, 24) =

Resolução:

MDC (4, 24) = 4. Como o número 4 é divisor de 24, de acordo com a primeira propriedade, ele é o MDC de 4 e 24.

c) MDC (137, 233, 347) =

Resolução:

MDC (137, 233, 347) = 1. Como todos os números são primos, o MDC é igual a 1.

2) (Enem 2015) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm; 30, de 810 cm; e 10, de 1080 cm, todas da mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.

Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir:

a) 105 peças
b) 120 peças
c) 210 peças
d) 243 peças
e) 420 peças

Resolução:

O arquiteto precisa de um maior aproveitamento do material. Dessa forma, devemos descobrir qual é o divisor para o corte das tábuas.

O MDC encontrado foi 270 cm, ou seja, o corte deverá ser feito a cada 2,70 m. No entanto, o exercício pede que o comprimento seja menor que 2 metros. Nesse caso, devemos dividir o divisor pelo menor divisor encontrado, que foi 2:

270 ÷ 2 = 135 cm ou 1,35 m

Assim, vamos somar a quantidade de tábuas disponíveis e dividir o resultado por 135, tendo em vista a quantidade de tábuas que o carpinteiro deverá produzir:

(40 x 540) + (30 x 810) + (10 x 1080) = 56.700 = 420
             135                              135

Alternativa E.

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