Poliedros regulares

Poliedros convexos formados por polígonos regulares e congruentes são regulares.

Poliedros são sólidos geométricos limitados por polígonos, que, por sua vez, são figuras geométricas planas limitadas por segmentos de reta. Um poliedro é dito regular quando obedece às três exigências seguintes:

1) é convexo;

2) é também poliedro de Platão;

3) Os polígonos que o formam, chamados de faces, são regulares e congruentes.

Todo poliedro regular é um poliedro de Platão, mas existem poliedros de Platão que não são regulares. Veja a seguir uma explicação sobre cada uma das condições para que um poliedro seja regular.

O que é um poliedro convexo?

Para compreender a ideia de poliedro convexo, é preciso saber a seguinte definição dos planos no espaço: Todo plano divide o espaço em dois semiespaços. Essa propriedade é parecida com a de semirreta. É comparável ainda com uma secção no espaço que o divide ao meio. Qualquer face de um poliedro está contida em um plano – por ser uma figura plana – e, por isso, determina um corte no espaço, dividindo-o.

Um poliedro é convexo quando está inteiramente contido em um dos dois semiespaços determinados por qualquer uma de suas faces.

A figura acima é um poliedro convexo. Para ilustrar isso, colocamos um plano na cor lilás em uma de suas faces, mas a mesma ideia aplica-se para qualquer face.

Dessa maneira, quando há pelo menos uma face de um poliedro que determina dois semiespaços, nos quais existem partes do poliedro, esse poliedro não é convexo.

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A figura acima não é convexa, pois existe uma face, contida no plano representado pelo quadrilátero roxo, que determina dois semiespaços. Como existem partes do poliedro em ambos, ele não é convexo.

O que é um poliedro de Platão?

Os poliedros de Platão são aqueles que possuem as seguintes propriedades:

1) Todas as faces apresentam o mesmo número de arestas;

2) Todos os vértices possuem o mesmo número de arestas, isto é, se um vértice é a extremidade de três arestas, por exemplo, então todos serão também.

3) É convexo;

4) Seja o número de faces igual a F, de arestas igual a A e de vértices igual a V, então vale a seguinte relação, chamada de relação de Euler:

V – A + F = 2

Existem infinitos poliedros de Platão, contudo, todos eles são um dos cinco seguintes, variando apenas em dimensões:

1) Tetraedro regular;

2) Hexaedro regular, mais conhecido como cubo;

3) Octaedro regular;

4) Dodecaedro regular;

5) Icosaedro regular.

Imagens dos poliedros mencionados acima
Imagens dos poliedros mencionados acima

O que é um polígono regular?

São polígonos convexos que possuem todos os lados e ângulos congruentes. A imagem abaixo ilustra um polígono convexo.

Cinco classes de poliedros regulares
Cinco classes de poliedros regulares
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
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