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Potenciações Especiais

As potenciações surgiram com o objetivo de representar uma multiplicação de fatores iguais através de expoentes que correspondem à quantidade de fatores. Por exemplo, a multiplicação 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 pode ser representada pela seguinte expressão 212, onde base = 2 e expoente = 12.

Diferença entre dois quadrados de números consecutivos

Uma situação interessante surge ao tentarmos resolver a subtração de potências de números consecutivos, observe a resolução pelo modo convencional:

101² – 100² = 10201 – 10000 = 201

Agora veja a resolução de um modo muito curioso.

Para resolver tal situação, basta fazer a simples operação:
101 + 100 = 201

Tal situação acontece pelo seguinte fato:
Considere dois números consecutivos x e y, tal que x < y, então y – x = 1. Dessa forma y² – x² = (y – x)(y + x) = 1 * (y + x) = y + x , portanto:

y² – x² = y + x


Exemplos

a) 30² – 29² = 900 – 841 = 59 ou 30 + 29 = 59

b) 1000² – 999² = 1 000 000 – 998 001 = 1999 ou 1000 + 999 = 1999

c) 521² – 520² = 271 441 – 270 400 = 1041 ou 521 + 520 = 1041

d) 5201² – 5200² = 27 050 401 – 27 040 000 = 10 401 ou 5201 + 5200 = 10 401


Soma entre dois quadrados de números consecutivos

Para a soma entre dois quadrados de números consecutivos também temos uma regra bem interessante, observe:

101² + 100² = 10 201 + 10 000 = 20 201

Podemos optar pela seguinte situação:

101 * 100 = 10 100
10 100 * 2 = 20 200
20 200 + 1 = 20 201

Dessa forma temos que:
y² + x² = y * x * 2 + 1

Exemplos

a) 15² + 14² = 225 + 196 = 421 ou 15*14*2 + 1 = 421

b) 200² + 199² = 40 000 + 39 601 = 79 601 ou 200*199*2 + 1 = 79601

c) 1500² + 1499² = 2 250 000 + 2 247 001 = 4 497 001 ou 1500*1499*2 + 1 = 4 497 001

d) 70² + 69² = 4900 + 4761 = 9661 ou 70*69*2 + 1 = 9661



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