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Primeira fórmula de Moivre

A primeira fórmula de Moivre é usada para calcular potências de números complexos na forma polar ou trigonométrica.

Representação da fórmula usada para calcular potências de números complexos
Representação da fórmula usada para calcular potências de números complexos

A primeira fórmula de Moivre é usada para calcular potências de números complexos na forma polar ou trigonométrica. Vale lembrar o que é a forma trigonométrica e como a multiplicação de números complexos nessa forma deve ser feita para compreender melhor a potenciação de números complexos em sua forma polar.

Números complexos na forma polar

Dado o número complexo z = a + bi, o ângulo α, formado pelo vetor que representa esse número com o eixo x no sentido anti-horário, é dado por:

cosα = a
           p

Nessa fórmula, p é o comprimento do vetor que representa o complexo z, também chamado módulo de z.

Além disso, esse mesmo ângulo também pode ser dado por:

senα = b
           p

Observe que:

b = senα·p

e que:

a = cosα·p

Tomando o complexo z = a + bi e substituindo nele as últimas duas expressões, temos:

z = cosα·p + senα·p·i

z = p(cosα + senα·i)

Essa é justamente a forma polar do complexo z.

Multiplicação de complexos na forma polar

Dados os números complexos z = p1(cosα + senα·i) e u = p2(cosβ + senβ·i), a multiplicação entre eles pode ser feita por meio da seguinte fórmula:

z·u = p1·p2[cos(α + β) + isen(α + β)]

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Essa multiplicação também pode ser feita quando houver três ou mais fatores.

Primeira fórmula de Moivre

A primeira fórmula de Moivre é usada para calcular potências de números complexos na forma polar. Lembre-se de que uma potência é um produto em que todos os fatores são o mesmo número, portanto, ao calcular z3, potência do número complexo z = a + bi, devemos fazer:

z3 = z·z·z

Lembrando que o complexo z, na forma polar, pode ser escrito como:

z = p(cosα + senα·i)

A mesma potência anterior pode ser escrita da seguinte maneira:

z3 = z·z·z = p·(cosα + senα·i)·p·(cosα + senα·i)·p·(cosα + senα·i)

z3 = p·p·p·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i) [equação I]

Expandindo os fatores (cosα + senα·i)·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i), por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado por meio das fórmulas de adição de arcos e das propriedades do número complexo i, encontraremos o seguinte resultado:

(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i) = cos(3α) + isen(3α)

Substituindo esse resultado na equação I, temos:

z3 = p3·[cos(3α) + isen(3α)]

O mesmo pode ser feito para a potência zn. O resultado será:

zn = pn·[cos(nα) + isen(nα)]

Essa é justamente a primeira fórmula de Moivre.

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