Prisma

O prisma é um dos principais sólidos geométricos da Geometria Espacial. Um sólido geométrico é um prisma quando ele possui duas bases paralelas formadas por polígonos congruentes e área lateral retangular com arestas formadas pela ligação entre os vértices das bases.

Em nosso cotidiano, é possível identificar vários elementos que possuem formato de prisma, como caixas de sapato, prédios, cômodos da casa, entre outros. Como o prisma possui faces formadas por polígonos, ele é um sólido geométrico classificado como poliedro, sendo ainda nomeado de acordo com o polígono que forma a sua base.

Saiba mais: Sólidos de Platão — os casos particulares de poliedros

Resumo sobre prisma

• O prisma é um sólido geométrico classificado como um poliedro, por ter todas as faces formadas por polígonos.

• Como todo poliedro, seus principais elementos são as arestas, as faces e os vértices.

• O prisma é composto por duas bases congruentes e área lateral, formada quando ligamos os vértices de uma base aos seus correspondentes na outra base.

• Além de importante para nomear o prisma, saber o polígono que forma a base é necessário aos cálculos envolvendo o prisma.

• O prisma pode ter diferentes bases, logo temos prismas de base triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, entre outros.

• O prisma pode ser reto (arestas laterais perpendiculares) ou oblíquo (arestas laterais com inclinação diferente de 90° com a base).

• A área lateral do prisma pode ser calculada por meio da soma das áreas de cada face lateral:

A_l  = A₁ + A₂ + … A_n

• Podemos calcular a área total do prisma somando a área das duas bases com a área lateral:

\(A_T=2A_b+A_l\)

• O volume do prisma é o produto entre a área da base e a sua altura:

\(V=A_b\cdot h\)

• O paralelepípedo retângulo é um caso particular de prisma e possui todos os seus ângulos retos.

Quais são os elementos de um prisma?

O prisma é um poliedro (sólido geométrico que possui faces formadas por polígonos), e todo poliedro possui como principais elementos as suas faces, as suas arestas e os seus vértices.

Bases do prisma

As bases do prisma têm grande importância, pois saber qual é a base é fundamental para os cálculos. Para calcular volume e área total, é necessário sempre calcular a área da base, e, para isso, é importante identificarmos qual polígono forma a base. Um prisma pode ter a base formada por qualquer polígono. Os mais comuns são os prismas de base triangular, de base quadrangular, de base pentagonal e de base hexagonal.

Além disso, é por meio da base que nomeamos o prisma. O prisma cuja base é um triângulo é conhecido como prisma triangular, o prisma cuja base é um quadrilátero é conhecido como prisma quadrangular e assim sucessivamente.

Qual a classificação do prisma?

Existem duas classificações possíveis para o prisma: ele pode ser reto ou oblíquo. O prisma reto é o mais comum no nosso dia a dia, pois é o prisma que possui arestas laterais perpendiculares à base. Já o prisma oblíquo é aquele que possui arestas laterais com uma inclinação diferente de 90° em relação à base.

Quais são as fórmulas do prisma?

A área total e o volume do prisma são calculados por meio de fórmulas específicas. Veja cada uma delas a seguir.

• Área lateral do prisma

A área lateral do prisma pode ser composta por retângulos ou por paralelogramos. Sendo assim, o cálculo da área da face lateral é sempre igual ao produto entre a base e a altura do polígono que compõe esse lado. Lembrando que a área lateral pode ser composta por muitas faces, a depender da base do prisma. Portanto, sendo A_1, A₂, ... A_n as áreas de cada face lateral, então a área lateral nada mais é que a soma das áreas de cada face lateral. Veja:

A_l  = A₁ + A₂ + … A_n

• Área total do prisma

Outro cálculo importante para prismas é o da área total. Como o prisma é composto por duas bases iguais e a área lateral, para calcular a área total do prisma calculamos duas vezes a área da base mais a área lateral. Veja:

A_T = 2A_b + A_l

• Volume do prisma

Para calcular o volume do prisma, calculamos o produto entre a área da base e a altura do prisma. Veja:

V = A_b · h

Exemplo envolvendo as três fórmulas do prisma

Um prisma de base triangular possui base no formato de um triângulo retângulo, com lados medindo 6 cm, 8 cm e 10 cm e altura igual a 18 cm. Qual a área total e o volume desse prisma?

Resolução:

Para facilitar o cálculo, primeiramente faremos o esboço desse prisma:

Para calcular a área total, inicialmente calcularemos a área lateral. Note que a área lateral é formada por três retângulos, todos com 18 cm de altura, mas o comprimento da base é diferente, sendo de 6 cm, 8 cm e 10 cm. Assim, calculando a área lateral, temos que:

\(A_l=8\cdot18+10\cdot18+6\cdot18\)

\(A_l=144+180+108\)

\(A_l=432\ cm^2\)

A base é um triângulo retângulo, logo para calcular a sua área multiplicamos os seus catetos e dividimos por 2, ou seja:

\(A_b=\frac{8\cdot6}{2}\)

\(A_b=\frac{48}{2}\)

\(A_b=24\ cm^2\)

Então a área total desse prisma é de:

\(A_t=2A_b+A_l\)

\(A_t=2\cdot24+432\)

\(A_t=48+432\)

\(A_t=480\ cm^2\)

Calculada a área total, calcularemos o volume. Como vimos, a área da base é de 24 cm², e a altura do prisma é de 18 cm, então temos que:

\(V=A_b\cdot h\)

\(V=24\cdot18\ \)

\(V=432\ cm^3\)

A área total é de 480 cm², e o volume é de 432 cm³.

Paralelepípedo retângulo

Um caso especial de prisma é o paralelepípedo retângulo, conhecido também como paralelepípedo reto, que ocorre quando todas as faces do prisma são retangulares.

Sabemos que a área total é a soma da área da base com a área lateral, então, por ele ter todas as dimensões retangulares, podemos deduzir uma fórmula para a área total do paralelepípedo retângulo, que é:

\(A_t=2ab+2ac+2bc\)

O volume do paralelepípedo retângulo, assim como dos outros prismas, é a área da base vezes a altura. Entretanto, note que a área da base é o produto entre a e b, e a altura é c, logo o volume pode ser calculado por:

\(V=a\cdot b\cdot c\)

Saiba também: Como é feita a planificação de sólidos geométricos?

Exercícios resolvidos sobre prisma

Questão 1

(IFG 2017) A água da piscina de saltos ornamentais do Centro Aquático Maria Lenk, no Parque Olímpico da Barra (Rio 2016), ficou verde. O Comitê Olímpico justificou a coloração devido a 80 litros de peróxido de hidrogênio (água oxigenada) jogados na água, o que criou uma reação para o cloro que neutralizou sua habilidade de matar organismos. Para a competição, a água de toda a piscina foi trocada. Suponha que essa piscina tenha o mesmo volume de um paralelepípedo reto com 23 metros de comprimento, 18 metros de largura e 9 metros de profundidade. Qual o volume de água que foi trocado dessa piscina, em litros?

(Adote 1 m³ = 1000 litros)

A) 3,726 milhões.

B) 4,140 milhões.

C) 2,070 milhões.

D) 1,620 milhões.

E) 2,125 milhões.

Resolução:

Alternativa A

Primeiramente, calcularemos o seu volume:

\(V=18\cdot9\cdot23\)

\(V=3726\ m^3\)

Em cada m³ cabem 1000 litros, então, multiplicando o volume por 1000, temos que:

V = 3 726 000 litros

O volume de água trocado foi de 3,726 milhões.

Questão 2

Julgue as afirmativas a seguir:

I. Um prisma recebe seu nome de acordo com o polígono da base: se a base é um triangulo, o prisma é triangular.

II. O cubo é um prisma cujas faces são todas quadradas.

III. O prisma é um poliedro, pois ele possui todas as faces formadas por polígonos.

Marque a alternativa correta:

A) Somente I é falsa.

B) Somente II é falsa.

C) Somente III é falsa.

D) Todas são verdadeiras.

Resolução:

Alternativa D

I – Verdadeira

Para nomear um prisma, basta analisar o polígono que forma a sua base.

II – Verdadeira

O cubo também é um caso de prisma, pois ele possui todas as faces quadradas congruentes.

III – Verdadeira

O prisma possui todas as faces formadas por polígonos, portanto, ele é um caso particular de poliedro.