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Propriedades operatórias dos logaritmos

As propriedades operatórias dos logaritmos ajudam a simplificar e tornar o cálculo de expressões que envolvem essa operação matemática mais fácil.

Com as propriedades dos logaritmos, é possível facilitar cálculos que envolvem essa operação matemática
Com as propriedades dos logaritmos, é possível facilitar cálculos que envolvem essa operação matemática

Os logaritmos foram criados no intuito de facilitar os cálculos envolvendo números muito grandes ou muito pequenos. Essa operação matemática reduz esses números a algumas bases, e a mais utilizada é a base decimal. As propriedades operatórias dos logaritmos possuem o objetivo de transformar multiplicações em somas, divisões em subtrações, potenciações em multiplicações e radiciações em divisões. Essas transformações facilitam os cálculos mais extensos.
Logaritmo de um produto

Considerando a, b e c como números reais positivos e a ≠ 1, temos a seguinte propriedade:

loga(b·c) = logab + logac

1º Exemplo

Dados log2 = 0,301 e log3 = 0,477, determine o log12.

log12 → log12 = log(2·2·3) → log12 = log2 + log2 + log3 → log12 = 0,301 + 0,301 + 0,477 → log 12 = 1,079

2º Exemplo

Determine o valor de log2(8·32).

log2(8·32) = log28 + log232 = 3 + 5 = 8

Logaritmo de um quociente

Considerando a, b e c números como reais positivos e a ≠ 1, temos a seguinte propriedade:

loga(b/c) = logab – logac

3º Exemplo

Sabendo que log30 = 1,477 e log5 = 0,699, determine log6.

log6 = (30/5) = log30 – log5 = 1,477 – 0,699 = 0,778

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4º Exemplo

log3(6561/81) = log36561 – log381 = 8 – 4 = 4

Logaritmo de uma potência

Considerando a e b como números reais positivos, com a ≠ 1, e m um número real, temos a seguinte propriedade:

logabm = m·logab

5º Exemplo

Sabendo que log 2 = 0,3010, calcule o valor de log 64.

log 64 = log 26 = 6·log 2 = 6·0,3010 = 1,806

6º Exemplo

Dado log 2x = 2,4 e log 2 = 0,3, calcule x.

log 2x = 2,4 → x·log 2 = 2,4 → x·0,3 = 2,4 → x = 2,4/0,3 → x = 8

Mudança de base

Para passar logab, com a e b positivos e a ≠ 1, para a base c, com c > 0 e c ≠ 1, utilizamos a seguinte expressão:

logab = logcb/logca, com logca ≠ 0

7º Exemplo

Passando log49 para a base 2.

log49 = log29 / log24 = log29 / 2

8º Exemplo

Sabendo que log 4 = 0,60 e log 5 = 0,70, calcule log54.

log54 = log4 / log5 = 0,60 / 0,70 → log54 = 0,86

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