Razão e proporção

Razão e proporção são conceitos utilizados para resolver situações-problema do nosso cotidiano. Conhecemos como razão a comparação entre dois números por meio de um quociente. Sabendo o que é razão, definimos como proporção a igualdade entre duas razões, ou seja, são razões que possuem o mesmo resultado.

Existem grandezas que são formadas pela razão de outras duas grandezas, como a densidade, que é a razão entre a massa e o volume; a velocidade, que é a razão entre distância e tempo; entre outras. Já a proporção é constantemente utilizada em receitas, produção, regra de três, entre outras situações. A propriedade fundamental da proporção é que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Leia também: Regra de três simples — cálculo envolvendo grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Resumo sobre razão e proporção

• A razão é a comparação entre dois números por meio de uma fração.
• A proporção é a igualdade de duas razões.
• Existem propriedades importantes na proporção.
• Utilizamos razão e proporção para resolver situações-problema cotidianas.

Videoaula sobre razão e proporção

O que é razão?

A razão é uma comparação entre dois números por meio de uma divisão. Podemos expressar a razão como uma fração ou até mesmo como o quociente desses dois números.

Exemplo:

\(\frac{a}{b}\)

Neste caso, temos a razão entre a e b.

Exemplo:

Em uma empresa de produção de parafusos, foram produzidos 90 parafusos, sendo que 6 deles são defeituosos. Qual a razão entre a quantidade de parafusos defeituosos e o total de parafusos produzidos?

Resolução:

Montando a razão, temos que:

\(\frac{6}{90}\)

Isso significa que temos 6 parafusos defeituosos em um total de 90 parafusos. Podemos simplificar a razão, dividindo o numerador por 6 e o denominador por 6.

\(\frac{6^{:6}}{90_6} =\frac{1}{15}\)

Essa razão diz que 1 a cada 15 parafusos produzidos é defeituoso.

Existem alguns casos de razão entre grandezas que geram novas grandezas, por exemplo:

• Densidade é a razão entre a massa e o volume.
• Velocidade é a razão entre a distância e o tempo.
• Probabilidade é a razão entre o número de elementos do conjunto evento e o número de elementos no conjunto universo.
• Consumo do automóvel é a razão entre a distância e o volume de combustível gasto.
• Densidade demográfica é a razão entre a área e o número de habitantes.

Veja também: Porcentagem — para que serve, como se calcula, exercícios

O que é proporção?

A proporção é uma comparação entre duas ou mais quantidades ou medidas que indica como essas grandezas se relacionam entre si. Duas grandezas podem ou não se relacionar de forma proporcional. Quando se relacionam de forma proporcional, essas grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. A proporção é utilizada para calcular valores desconhecidos por meio da igualdade de razões.

Quais são as propriedades da proporção?

Podemos destacar 4 propriedades da proporção:

• 1ª propriedade da proporção

A propriedade fundamental da proporção diz que, dada a igualdade de duas razões, o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos, o que nos permite multiplicar cruzado em uma igualdade de frações:

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=b⋅c=a⋅d\)

• 2ª propriedade da proporção

Dadas duas razões proporcionais, a soma entre os numeradores e denominadores dessas frações também gerará uma nova razão proporcional às duas anteriores.

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)

• 3ª propriedade da proporção

Dadas duas razões proporcionais, a diferença entre os numeradores e denominadores dessas frações também gerará uma nova razão proporcional às duas anteriores.

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}\)

• 4ª propriedade da proporção

A adição do numerador com o denominador dividida pelo valor do numerador da primeira proporção é equivalente à adição do numerador com o denominador dividida pelo valor do numerador da segunda proporção.

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}\)

Como se calcula razão e proporção?

Para calcular o valor desconhecido de uma grandeza utilizando razão e proporção, utilizamos as propriedades da proporção, principalmente a propriedade fundamental da proporção, que foi a primeira propriedade apresentada.

Exemplo:

Para fazer 250 mL de café, são necessários 8g de pó de café. Caso uma pessoa queira fazer 875 mL, a quantidade de pó de café necessária é de quanto?

Resolução:

Sendo x a quantidade de pó de café em gramas necessária para fazer 875 mL de café, temos que:

\(\frac{250}{8}=\frac{875}{x}\)

Multiplicando cruzado:

\(250x=875⋅8\)

\(250x=7000\)

\(x=\frac{7000}{250}\)

\(x=28\)

Então são necessários 28 gramas.

Saiba mais: Como resolver operações com frações

Exercícios resolvidos sobre razão e proporção

Questão 1

(Enem 2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas.

Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de:

A) 12 kg

B) 16 kg

C) 24 kg

D) 36 kg

E) 75 kg

Resolução:

Alternativa A

Sabemos que:

\(\frac{5}{2}=\frac{30}{x}\)

Então temos que:

\(5x=2⋅30\)

\(5x=60\)

\(x=\frac{60}{5}\)

\(x=12\)

Questão 2

(Enem 2011) Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela Caatinga, em quase 800 mil km² de área. Quando não chove, o homem do Sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo.

Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010.

Segundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela Caatinga, em habitantes por km², é de:

A) 250

B) 25

C) 2,5

D) 0,25

E) 0,025

Resolução:

Alternativa B

Calculando a razão:

\(\frac{20.000.000}{800.000}=25\)

Fontes:

DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática, 9° ano. 1.ed.- São Paulo: Ática, 2012.

LIMA, Elon Lages; WAGNER, Eduardo; CARVALHO, Paulo Cesar Pinto; MORGADO, Augusto César. Temas e Problemas Elementares. 5.ed. Rio de Janeiro: SBM, 2013.