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Regras de derivação

As regras de derivação existem para facilitar os cálculos para descobrir a inclinação da reta tangente.

O cálculo de derivadas pode ser feito de duas formas: utilizando a definição de derivada, que envolve um limite que tende a uma indefinição, ou utilizando regras de derivação, cujo funcionamento é garantido pela análise matemática.

Em primeiro lugar, as derivadas, quando existem, determinam a inclinação da reta tangente a uma função f (x). Essa inclinação também é conhecida como taxa de variação e é utilizada para resolver os mais variados tipos de problemas matemáticos. Para determinar essa inclinação, deve-se calcular o limite abaixo. Dessa maneira, f ' (x) é a derivada da função f (x) e diz-se que f (x) é derivável no ponto p.

f ' (x) = lim    f (x) – f (p)
      x→p      x – p

As notações mais utilizadas para a derivada da função f (x) são: f ' (x) ou [f (x)]'. Se essas derivadas forem calculadas no ponto p, as notações passarão a ser: f '(p) ou [f (p)]'.

Calcular esse limite não é grande desafio para funções polinomiais com grau 2 ou 3, uma vez que as propriedades de limites garantem que o limite das somas é igual à soma dos limites e, dessa forma, diante do limite de um polinômio, basta calcular os limites de cada monômio que o formou. Contudo, funções polinomiais de grau muito alto ou outros tipos de funções imprimem um alto grau de dificuldade para o cálculo desse limite. Dessa forma, buscando maior agilidade e facilidade para os cálculos de derivadas, é possível provar os resultados subsequentes, usualmente conhecidos como propriedades das derivadas, ou regras de derivação.

Regras de derivação

Sejam f (x) e g (x) funções deriváveis e seja a um número real qualquer. Então, valem as propriedades:

i) Se f (x) = a, então f ' (x) = 0.

ii) Se f (x) = ax, então f ' (x) = a.

iii) (Regra do tombo) Se f (x) = xa, então f ' (x) = a·xa – 1.

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iv) (Derivada da soma) [f (x) + g (x)]' = f ' (x) + g' (x).

v) [af (x)]' = a·f ' (x).

vi) (Regra do produto) [f (x) g (x)]' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x).

vii) (regra do quociente):

Exemplos:

Exemplo 1: Calcule a derivada de f (x) = x3

Pela regra do tombo:

f ' (x) = 3x3 – 1 = 3x2

Exemplo 2: Calcule a derivada de f (x) = 3x4

Pela regra do tombo:

f ' (x) = 4·3x4 – 1

f ' (x) = 12x3

Exemplo 3: Calcule a derivada de f (x) = √x

Pela regra do tombo:

f (x) = x1/2

f ' (x) = 1x1/2 – 1
  2 

f ' (x) = 1x–1/2
    2

f ' (x) = 1
                 2x1/2

f ' (x) = 1
               2√x

Exemplo 4: Calcule a derivada de f (x) = x2·(3x – 1)

Pode-se resolver esse problema pela simplificação do polinômio ou por meio da regra do produto:

f ' (x) = 2x(3x – 1) + x2(3 – 0)

f ' (x) = 6x2 – 2x + 3x2

f ' (x) = 9x2 – 2x

Exemplo 5: Calcule a derivada da função:

d (x) = 4x3 + 1
           5x2

No caso da função d (x), temos as funções f (x) = 4x3 + 1 e g (x) = 5x2. Portanto, utilizando a regra do quociente, teremos:

Logo, pela regra do quociente, a derivada da função d (x) é dada por:

d ' (x) = 12x2·5x2 - (4x3 + 1)·10x
          (5x2)2

Ilustração da reta tangente, que pode ser encontrada por meio do cálculo de derivadas
Ilustração da reta tangente, que pode ser encontrada por meio do cálculo de derivadas
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva

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