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Relações métricas no hexágono regular inscrito

As relações métricas no hexágono regular inscrito são fórmulas usadas para calcular lado e apótema a partir da medida do raio de uma circunferência.

Relações métricas no hexágono regular inscrito
As relações métricas podem ser usadas para calcular medidas do hexágono regular inscrito em uma circunferência

Dizemos que um polígono está inscrito quando existe uma circunferência que contém todos os seus vértices. Além disso, um polígono é regular quando ele possui todos os lados com a mesma medida e seus ângulos internos são congruentes. Portanto, um hexágono regular inscrito é um polígono que possui seis lados com a mesma medida e seis ângulos internos congruentes e cujos vértices são todos pontos pertencentes a uma circunferência. Veja na figura abaixo um hexágono regular inscrito:

As relações métricas no hexágono regular inscrito são fórmulas que podem ser usadas para encontrar a medida de seu lado e a medida de seu apótema a partir apenas do raio da circunferência na qual ele está inscrito. Essas fórmulas são:

l = r

Em que o raio da circunferência é igual ao lado do hexágono e:

a = r3
     2

Nessa fórmula, a é o apótema e r é o raio da circunferência.

Construções e elementos no hexágono inscrito

Antes de discutir essas fórmulas, convém realizar algumas construções no hexágono a fim de que suas demonstrações tornem-se mais diretas.

1º – Escolha dois vértices consecutivos do hexágono e construa os raios da circunferência que se ligam a eles. Observe na imagem a seguir que esses raios são os segmentos OA e OB, os quais, unidos ao segmento AB, formam um triângulo:

2º – Trace o apótema do hexágono, que, na imagem acima, é o segmento AP. O apótema é um segmento de reta que liga o centro de um polígono a um de seus lados, formando com ele um ângulo reto.

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3º – Como o polígono é regular, o apótema também é mediana do lado AB e bissetriz do ângulo AÔB.

4º – Observe que o ângulo AÔB mede 60°. Isso acontece porque o polígono é regular, então, cada um de seus seis ângulos centrais é igual a 360°/6 = 60°.

5º – Como os lados AO e BO do triângulo ABO são raios da circunferência na qual o hexágono está inscrito, então, eles são congruentes. Isso significa que esse triângulo é isósceles e que os ângulos da base são iguais. Pela soma dos ângulos internos do triângulo, concluímos que cada ângulo interno de ABO mede 60°. Portanto, ele é um triângulo equilátero.

Dadas essas propriedades, colocaremos todas as medidas encontradas no triângulo ABO. Observe que, se o lado do hexágono mede l, então, o segmento PB = l/2.

Demostração das relações métricas

Primeiramente, sabendo que o triângulo ABP é equilátero, o lado l do hexágono tem a mesma medida que o raio da circunferência. Assim:

l = r

Além disso, considere o triângulo OPB da imagem anterior e calcule o cosseno de 30°:

Cos30° = a
               r

√3 = a
2     r

r√3 = a
2      

a = r3
     2

Exemplo: Calcule a medida do lado e do apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio 10 cm.

Lado: como l = r, teremos que l = 10 cm.

Apótema: Usando a fórmula encontrada, teremos:

a = r3
     2

a = 103
      2

a = 5√3 cm.

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