Tetraedro regular

Tetraedro regular é um sólido geométrico formado por quatro faces triangulares regulares e congruentes, ou seja, quatro triângulos equiláteros iguais. Os ângulos poliédricos também são congruentes entre si.

Outra maneira de compreender essa figura espacial é visualizar uma pirâmide de base triangular em que todas as arestas possuem a mesma medida.

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Resumo sobre o tetraedro regular

• Tetraedro regular é um sólido geométrico cujas faces são triângulos equiláteros congruentes entre si.

• O tetraedro regular é formado por 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices.

• A altura do tetraedro regular é a distância entre a base e o vértice oposto.

• A área do tetraedro regular é a soma das áreas dos triângulos equiláteros que formam as faces.

• O volume do tetraedro regular é um terço do produto entre a área da base e a altura.

Características do tetraedro regular

As principais características do tetraedro regular são:

• 4 faces formadas por triângulos equiláteros congruentes;

• 6 arestas congruentes;

• 4 vértices. 

Outros elementos importantes do tetraedro regular são o apótema e o apótema da base.

• Apótema é a altura da face lateral. No caso do tetraedro regular, o apótema é a altura de um triângulo equilátero.

• Apótema da base é o apótema de um triângulo equilátero. Assim, é a distância entre o centro do triângulo da base e o ponto médio de uma de suas arestas.

Altura do tetraedro regular

No tetraedro regular, a distância entre a base e o vértice oposto é chamada de altura. No tetraedro ABCE abaixo, o segmento AE de medida h é perpendicular ao plano BCE. Assim, AE é a altura do tetraedro ABCE.

Mas como encontrar quanto mede a altura AE? Ou seja, qual o valor de h?

Sendo G o ponto médio da aresta CD, observe que podemos construir um triângulo retângulo utilizando a altura AE como um dos catetos, o apótema da base EG como outro cateto e o apótema AG do tetraedro como outro cateto.

Se a é a medida das arestas do tetraedro ABCD, consequentemente:

• \(AG= \frac{a\sqrt3}2\), pois AG é altura do triângulo equilátero ACD.

• \(EG= \frac{1}3 ×\frac{a\sqrt3}2 = \frac{ a\sqrt3}6\), pois E é baricentro e ortocentro do triângulo equilátero BCD e, portanto, mede um terço da altura BG da base.

Portanto, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AEG:

\(h^2+(EG)^2=(AG)^2\)

\(h^2+(\frac{a√3}6)^2=(\frac{a√3}2)^2\)

\(h^2=\frac{3a^2}4-\frac{a^2}{12}\)

\(h^2=\frac{2a^2}3\)

\(h= \frac{a \sqrt2}{\sqrt3}\)

Podemos racionalizar ao multiplicar a expressão anterior pela fração \(\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\) e obtemos a expressão para a altura h do tetraedro regular de aresta a:

\(h =\frac{a\sqrt6}3\)

Saiba mais: Pontos notáveis do triângulo — mediana, baricentro, ortocentro etc.

Área do tetraedro regular

A área de um tetraedro regular é a medida de sua superfície. Como as quatro faces do tetraedro regular são triângulos equiláteros, a área A desse sólido é dada por

\(A=4×\frac{a^2 \sqrt3}4=a^2 \sqrt3\)

em que a é a medida da aresta do tetraedro regular.

Volume do tetraedro regular

O volume V de um tetraedro regular é a medida do espaço ocupado por este sólido. Essa medida vale um terço do produto entre a área da base e a altura. Lembre-se que a área da base corresponde à área de um triângulo equilátero.

\(V=\frac{1}3 (A_b×h)=\frac{1}3 (\frac{a^2 \sqrt3}4 × \frac{a \sqrt2}{\sqrt3})\)

Simplificando os termos \(\sqrt3\), podemos concluir que o volume de um tetraedro regular é dado por

\(V=\frac{a^3\sqrt2}{12}\)

Planificação do tetraedro regular

Planificando o tetraedro regular, obtemos a seguinte figura:

Tetraedro regular x tetraedro irregular

Enquanto as faces do tetraedro regular são triângulos equiláteros congruentes, um tetraedro irregular possui outros tipos de faces triangulares. Como consequência, as expressões que encontramos para altura, área e volume do tetraedro regular não são válidas para um tetraedro irregular.

Exercícios resolvidos sobre tetraedro regular

Questão 1

Considere um tetraedro regular em que cada aresta mede 2 cm. Assim, é correto afirmar que a área total desse sólido vale

a) \(2\sqrt3\ cm\)

b) \(4\sqrt3\ cm\)

c) \(8\sqrt3\ cm\)

d) \(16\sqrt3\ cm\)

e) \(32\sqrt3\ cm\)

Resolução:

Alternativa B

Como as quatro faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros, a área total é dada por

\(A=4×\frac{a^2 \sqrt3}4=a^2 \sqrt3\)

Se a = 2 cm, então

\(A=2^2 \sqrt3=4\sqrt3\ cm\)

Questão 2

Ao estudar um sólido geométrico, Ana fez duas observações.

I. Este sólido possui 4 faces iguais.

II. As faces desse sólido são triângulos equiláteros.

O nome do sólido descrito por Ana em I e II é

a) tronco de pirâmide.

b) hexaedro.

c) tetraedro regular.

d) prisma triangular.

e) cone.

Resolução:

Alternativa C

As descrições de Ana se referem ao tetraedro regular, um sólido cujas quatro faces são triângulos equiláteros congruentes.