Tronco de pirâmide

Tronco de pirâmide é um sólido geométrico construído por meio da secção de uma pirâmide por um plano paralelo à base. Nesse processo, a pirâmide original também forma uma pirâmide semelhante, com vértice comum. Assim, podemos obter informações sobre o tronco de pirâmide ao relacioná-lo com a pirâmide original (maior) e a nova pirâmide (menor).

Leia também: Posição relativa entre planos — como as figuras interagem no espaço tridimensional

Resumo sobre tronco de pirâmide

• A secção de uma pirâmide por um plano paralelo à base forma dois sólidos: uma pirâmide menor, semelhante à original, e um tronco de pirâmide.
• O tronco de pirâmide é formado por duas bases paralelas.
• As faces laterais do tronco de pirâmide são trapézios.
• Se H é a altura da pirâmide original e h’ é a altura da pirâmide menor, então a altura h de um tronco de pirâmide é:

\(h=H-h^\prime\)

• Se A_B e A_b são, respectivamente, as áreas da base maior e da base menor de um tronco de pirâmide, então a área total A_t é dada por:

\(A_t=A_b+A_B+A_l\)

• O volume V de um tronco de pirâmide é obtido pela fórmula:

\(V=\frac{h}{3}\left(A_B+\sqrt{A_B\cdot A_b}+A_b\right)\)

Elementos de um tronco de pirâmide

Um tronco de pirâmide apresenta três elementos principais:

• Base maior: corresponde à base da pirâmide original.
• Base menor: é a interseção do plano com a pirâmide original.
• Altura: é a distância entre as bases.

Vale ressaltar que, pela construção de um tronco de pirâmide, a base menor e a base maior são paralelas. Observe ainda que os polígonos que compõem as faces laterais de um tronco de pirâmide são trapézios.

Como calcular a altura de um tronco de pirâmide

Seja H a altura da pirâmide original; h' a altura da pirâmide menor, obtida por meio da secção com o plano; e h a altura do tronco de pirâmide, note que H=h'+h. Portanto, a altura de um tronco de pirâmide é:

\(h=H-h^\prime\)

• Exemplo: Uma pirâmide de 5 centímetros de altura é cortada por um plano α paralelo à base, formando uma pirâmide de 2 centímetros de altura. Qual a distância entre α e a base da pirâmide maior?

Perceba que a distância procurada é exatamente a distância entre a base maior e a base menor de um tronco de pirâmide. Como H = 5 cm e h’ = 2 cm, a altura h do tronco de pirâmide é:

\(h=5-2=3 cm\)

Veja também: Como se calcula o volume de uma pirâmide?

Como calcular a área de um tronco de pirâmide

A área de um tronco de pirâmide é a medida de sua superfície. Para calcular essa área, precisamos somar três medidas:

• A_b – área da base menor;
• A_B – área da base maior;
• A_l – área lateral, ou seja, a soma das áreas dos trapézios laterais.

Assim, a área At de um tronco de pirâmide é dada por:

\(A_t=A_b+A_B+A_{l }\)

• Exemplo: Um tronco de pirâmide possui bases quadradas de lados 2 cm e 4 cm. Sabendo que as faces laterais são congruentes e têm altura de 3 cm, qual a área total desse sólido?

Primeiro vamos calcular as áreas das bases. Como os polígonos das bases são quadrados, temos que:

\(A_b=2^2=4 cm²\)

\(A_B=4^2=16 cm²\)

Agora vamos determinar a área lateral. Nesse momento, é importante ter cuidado: não confunda as bases do tronco de pirâmide com as bases dos trapézios que compõem as faces laterais! Enquanto as bases do tronco de pirâmide são polígonos, as bases dos trapézios laterais são segmentos.

Como o tronco de pirâmide possui bases quadradas, há 4 faces laterais. Cada face lateral é um trapézio cujas bases medem 2 cm e 4 cm e a altura mede 3 cm. Portanto, aplicando a fórmula da área do trapézio, obtemos:

\(A_{trapézio}=\frac{(4+2)⋅3}2=9 cm²\)

Como a área lateral é composta por 4 faces, temos:

\(A_l=4\cdot9=36 cm²\)

Assim, a área total do tronco de pirâmide é:

\(A_t=A_b+A_B+A_l\)

\(A_t=4+16+36\)

\(A_t=56 cm²\)

-> Videoaula sobre a área do tronco de pirâmide

Como calcular o volume de um tronco de pirâmide

O volume V de um tronco de pirâmide é obtido pela diferença entre o volume da pirâmide original e o volume da pirâmide menor. Associando essa diferença com a semelhança entre a pirâmide original e a nova, tem-se a seguinte fórmula para o cálculo do volume de tronco de pirâmide:

\(V=\frac{h}{3}\left(A_B+\sqrt{A_B\cdot A_b}+A_b\right)\)

Em que h é a altura do tronco de pirâmide e Ab e AB são as áreas das bases menor e maior respectivamente.

• Exemplo: Determine o volume de um tronco de pirâmide com áreas das bases iguais a \(\sqrt3 cm² \) e \(16\sqrt3 cm² \) e altura igual a \(\sqrt{13}\) cm.

Aplicando a fórmula para o volume de um tronco de pirâmide com \(A_B=16\sqrt3\), \(A_b=\sqrt3 \ e\ h=\sqrt{13}\), temos:

\(V=\frac{\sqrt{13}}{3}\left(16\sqrt3+\sqrt{16\sqrt3\cdot\sqrt3}+\sqrt3\right)\)

\(V=\frac{\sqrt{13}}{3}\left(16\sqrt3+4\sqrt3+\sqrt3\right)\)

\(V=\frac{\sqrt{13}}{3}\cdot21\sqrt3\)

\(V=7\sqrt{39} cm³\)

-> Videoaula sobre volume do tronco de pirâmide

Exercícios resolvidos sobre tronco de pirâmide

Questão 1

(Enem) Uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno é o Templo de Kukulkán, localizado na cidade de Chichén Itzá, no México. Geometricamente, esse templo pode ser representado por um tronco reto de pirâmide de base quadrada.

As quantidades de cada tipo de figura plana que formam esse tronco de pirâmide são:

1. 2 quadrados e 4 retângulos.
2. 1 retângulo e 4 triângulos isósceles.
3. 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.
4. 1 quadrado, 3 retângulos e 2 trapézios retângulos.
5. 2 retângulos, 2 quadrados e 2 trapézios retângulos.

Resolução

Como a pirâmide original apresenta base quadrada, então o tronco de pirâmide terá 2 bases quadradas. Além disso, por se tratar de uma pirâmide reta de base quadrada, as faces laterais são 4 trapézios isósceles.

Alternativa C

Questão 2

(Mackenzie) Qual o volume de um tronco de pirâmide quadrangular regular, se os lados das bases medem 10 cm e 4 cm e a altura mede 4 cm?

1. 205 cm³
2. 206 cm³
3. 207 cm³
4. 208 cm³
5. 209 cm³

Resolução

De acordo com o enunciado, as bases do tronco de pirâmide são quadradas. Assim:

\(A_b=4^2=16 cm ²\)

\(A_B={10}^2=100 cm²\)

\(h\ =\ 4\ cm\)

Portanto:

\(V=\frac{4}{3}\left(100+\sqrt{100\cdot16}+16\right)\)

\(V\ =\ 208 cm³\)

Alternativa D

Fontes

ANDRADE, S. A. G. de. A pirâmide e seu volume. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) - Universidade Federal da Paraíba. João Pessoa, 2013.

DOLCE, O; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica. 7ª ed. Santos: Atual, 2013.