Valor de pi

O valor de pi é obtido ao dividir o comprimento de uma circunferência pelo diâmetro, entre outras técnicas que podem aproximar seu valor, como a criada por Arquimedes.

A legra grega π (pi) é usada para representar uma constante matemática considerada como uma das mais importantes já criadas. O valor de π é um número decimal não periódico com infinitas casas decimais, e é costume que vestibulares, Enem, concursos e todo tipo de questão envolvendo essa constante arredondem-na para 3,14.

Entretanto, pi é um número irracional. Isso significa que não pode ser expresso na forma de fração, é decimal e suas casas decimais são infinitas e (até onde são conhecidas) não seguem um padrão como o das dízimas periódicas.

Obtendo o valor de pi

Quando o comprimento da circunferência é dividido pela medida do seu diâmetro, o valor obtido sempre poderá ser arredondado para 3,14.

Uma das técnicas que podem ser usadas para encontrar uma aproximação mais precisa para o valor de pi foi desenvolvida por Arquimedes. O método usado por ele é chamado de exaustão e consiste em calcular uma aproximação do valor de pi por meio de polígonos com perímetros muito parecidos com o de uma circunferência.

Primeiramente, ele construiu um quadrado inscrito de perímetro “P” e outro circunscrito de perímetro “p”, ambos em uma circunferência de raio r. Sabendo que, ao dividir o perímetro C da circunferência por seu diâmetro 2r, obtemos o valor de pi, ele pôde construir a seguinte desigualdade:

 p C P
 2r    2r    2r

 p < π < 
2r          2r

Dessa forma, pi é um número encontrado entre os perímetros do quadrado menor e do quadrado maior, ambos divididos pelo diâmetro.

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Quadrado inscrito e quadrado circunscrito na circunferência
Quadrado inscrito e quadrado circunscrito na circunferência

A grande ideia é aumentar o número de lados dos polígonos, de modo que eles sempre sejam regulares, fazendo com que seu formato se aproxime do formato da circunferência. Observe a seguir uma circunferência que inscreve e que circunscreve polígonos regulares com oito lados.

Octógono inscrito e octógono circunscrito na circunferência
Octógono inscrito e octógono circunscrito na circunferência

Note que o perímetro dos polígonos se aproxima muito do perímetro da circunferência. Isso significa que, utilizando a mesma desigualdade anterior para os perímetros dessas figuras, obteremos uma aproximação muito melhor para o valor de pi.

Arquimedes fez esses cálculos para polígonos com 96 lados. Veja na figura a seguir o quanto essa aproximação é precisa:

Essa imagem mostra que os dois polígonos têm o perímetro muito próximo à medida do comprimento da circunferência e, ao mesmo tempo, mostra por meio do zoom que um deles está inscrito e o outro circunscrito.

Na utilização da desigualdade anterior para aproximação de pi, nesse caso, as medidas dos perímetros encontrados para os polígonos foram:

 p = 22
2r    7

e

 P = 223
2r     71

Ou seja,

22 < π < 223
7            71

3,14285714 < π < 3,14084507

Aproximadamente.

Hoje conhecemos mais de 4 quatrilhões de casas decimais de pi, que foram calculadas por supercomputadores.

Demonstração do primeiro método usado para encontrar uma aproximação de pi
Demonstração do primeiro método usado para encontrar uma aproximação de pi
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva

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